Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x y + y^{2} - 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2} - 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + y^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + 0$

Étape 2.5

Associez des termes.

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Étape 2.5.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y$ .

$2 y = y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 y = y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $y$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ .

$\frac{y - (2 y)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y^{2}$ .

$\frac{y - (2 y)}{y^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y - 1 \cdot 2 y$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{1} - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Étape 4.3.2.1.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (1 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y (1 - 2)}{y^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{y^{2}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- 1)}{y^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y (- 1)}{y \cdot y}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot - 1}{y \cdot y}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y}$

Étape 4.3.4

Remplacez $M$ par $y^{2}$ .

$- \frac{1}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y^{2}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y^{2} \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x y + y^{2} - 1$ par $\frac{1}{y}$ .

$y d x + (x y + y^{2} - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x y + y^{2} - 1$ par $\frac{1}{y}$ .

$y d x + \frac{x y + y^{2} - 1}{y} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Étape 11.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y} - x$

Étape 12.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.1

Divisez la fraction $\frac{x y + y^{2} - 1}{y}$ en deux fractions.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Étape 12.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y + y^{2}$ .

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Étape 12.1.2.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Étape 12.1.2.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y \cdot y}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Étape 12.1.2.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Étape 12.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 12.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Étape 12.1.2.2.2.2

Divisez $x + y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x + y + \frac{- 1}{y} - x$

Étape 12.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d y} = x + y - \frac{1}{y} - x$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $x + y - \frac{1}{y} - x$ .

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Étape 12.1.3.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y} + 0$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $y - \frac{1}{y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $y - \frac{1}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y - \frac{1}{y} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y - \frac{1}{y} d y$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int y d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Étape 13.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - \int \frac{1}{y} d y$

Étape 13.6

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - (\ln (| y |) + C)$

Étape 13.7

Simplifiez

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Étape 15

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x + \frac{y^{2}}{2} - \ln (| y |) + C$