Calcul infinitésimal Exemples

$y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x + 1 - x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x + 1 - x y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1 - x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y \cdot 1$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0 - y$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - y$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y + 2$ .

$1 = - y + 2$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = - y + 2$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y + 2$ .

$\frac{- y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{- y + 2 - 1}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{- y + 2 - 1}{y}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{- y + 1}{y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{- (y) + 1}{y}$

Étape 4.3.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (y) - 1 (- 1)}{y}$

Étape 4.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (y - 1)}{y}$

Étape 4.3.6

Réécrivez $- (y - 1)$ comme $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{- 1 (y - 1)}{y}$

Étape 4.3.7

Remplacez $M$ par $y$ .

$- \frac{y - 1}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{y - 1}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{y - 1}{y} d y}$

Étape 5.2

Divisez $y - 1$ par $y$ .

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Étape 5.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$0$

$y$

$1$

Étape 5.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$1$

Étape 5.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$0$

Étape 5.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y + 0$

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$

Étape 5.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$0$
					-	$1$

Étape 5.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$μ (x, y) = e^{- \int 1 - \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$μ (x, y) = e^{- (\int d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{- (y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.6

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Étape 5.7

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- y + \ln (| y |)} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{- y + \ln (y)}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y$ par $e^{- y + \ln (y)}$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $2 x + 1 - x y$ par $e^{- y + \ln (y)}$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x + 1 - x y) e^{- y + \ln (y)} d y = 0$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + 1 e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $e^{- y + \ln (y)}$ par $1$ .

$y e^{- y + \ln (y)} d x + (2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- y + \ln (y)} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = y e^{- y + \ln (y)}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)} x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y e^{- y + \ln (y)} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = e^{- y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y + \ln (y)}] + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - y + \ln (y)$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- y + \ln (y)]) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- y + \ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.7

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.3.10

Multipliez $e^{- y + \ln (y)}$ par $1$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y})) + e^{- y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (y (e^{- y + \ln (y)} (- 1 + \frac{1}{y}))) + x e^{- y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y (- 1 + \frac{1}{y}) + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + e^{- y + \ln (y)} x y \cdot - 1 + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.5.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.5.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 11.5.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $e^{- y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.5.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + y (e^{- y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.5.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} - 1 \cdot (e^{- y + \ln (y)} x y) + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.5.3.4

Réécrivez $- 1 (e^{- y + \ln (y)} x y)$ comme $- (e^{- y + \ln (y)} x y)$ .

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + e^{- y + \ln (y)} x + e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.5.4

Additionnez $e^{- y + \ln (y)} x$ et $e^{- y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 11.5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} - e^{- y + \ln (y)} x y + 2 e^{- y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} = 2 x e^{- y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - x y e^{- y + \ln (y)}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $- x y e^{- y + \ln (y)} + 2 x e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)}$ .

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Étape 12.1.2.1

Soustrayez $2 x e^{- y + \ln (y)}$ de $2 x e^{- y + \ln (y)}$ .

$- x y e^{- y + \ln (y)} + 0 - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $- x y e^{- y + \ln (y)}$ et $0$ .

$- x y e^{- y + \ln (y)} - e^{- y + \ln (y)} + x y e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Étape 12.1.2.3

Additionnez $- x y e^{- y + \ln (y)}$ et $x y e^{- y + \ln (y)}$ .

$0 - e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Étape 12.1.2.4

Soustrayez $e^{- y + \ln (y)}$ de $0$ .

$- e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Étape 12.1.3

Comme $\frac{d g}{d y}$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Étape 12.1.4

Divisez chaque terme dans $- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 12.1.4.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Étape 12.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Étape 12.1.4.2.2

Divisez $\frac{d g}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{- e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Étape 12.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1.4.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{1}$

Étape 12.1.4.3.2

Divisez $e^{- y + \ln (y)}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $e^{- y + \ln (y)}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Étape 13.3

Réécrivez $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ comme $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ .

$g (y) = \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Étape 13.4

Réécrivez $e^{\ln (y)}$ comme $y$ .

$g (y) = \int e^{- y} y d y$

Étape 13.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

Étape 13.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

Étape 13.7

Simplifiez

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Étape 13.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

Étape 13.7.2

Multipliez $\int e^{- y} d y$ par $1$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

Étape 13.8

Laissez $u = - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.8.1

Laissez $u = - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 13.8.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 13.8.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 13.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 13.8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 13.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

Étape 13.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

Étape 13.10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (y) = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

Étape 13.11

Réécrivez $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ comme $- y e^{- y} - e^{u} + C$ .

$g (y) = - y e^{- y} - e^{u} + C$

Étape 13.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$g (y) = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Étape 15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = y e^{- y + \ln (y)} x - y e^{- y} - e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- y + \ln (y)} - y e^{- y} - e^{- y} + C$