Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = (x - 2) e^{- 2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} ((x - 2) e^{- 2 y})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $e^{- 2 y}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $e^{- 2 y}$ à partir de $(x - 2) e^{- 2 y}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} (x - 2))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} (x - 2))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = (x - 2) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int x - 2 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- 2 y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{2 y}$ par $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = 2 y$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 2.2.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x - 2 d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x - 2 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 y} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{2 y} = 2 (\frac{x^{2}}{2} - 2 x + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (- 2 x) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 y} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (- 2 x) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 y} = x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$e^{2 y} = x^{2} - 4 x + 2 K$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{2 y})$ en déplaçant $2 y$ hors du logarithme.

$2 y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 y = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (x^{2} - 4 x + 2 K)$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + 2 K)}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + 2 K)}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + 2 K)}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\ln (x^{2} - 4 x + K)}{2}$