Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ par $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ par $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.5

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.6.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.7

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.8

Utilisez la règle de la puissance d’un quotient $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V \cdot \frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.2.3.3.1

Associez $- V$ et $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} + \frac{- V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.2.3.4.1

Factorisez $V$ à partir de $V - V (1 + V^{2})$ .

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Étape 6.1.1.2.3.4.1.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.1.2

Factorisez $V$ à partir de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.1.3

Factorisez $V$ à partir de $- V (1 + V^{2})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.1.4

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.5

Soustrayez $V^{2}$ de $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.6

Associez les exposants.

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Étape 6.1.1.2.3.4.6.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.6.2

Multipliez $V$ par $V^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.2.3.4.6.2.1

Multipliez $V$ par $V^{2}$ .

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Étape 6.1.1.2.3.4.6.2.1.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4.6.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{x (1 + V^{2})}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $1 + V^{2}$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V^{2})}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.3.2

Factorisez $1 + V^{2}$ à partir de $- (1 + V^{2})$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.3.3

Factorisez $1 + V^{2}$ à partir de $(1 + V^{2}) x$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) (x)}$

Étape 6.1.4.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $V^{3}$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Étape 6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.2.1.1

Retirez $V^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(V^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{3 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $(1 + V^{2}) V^{- 3}$ .

$\int 1 V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.2.3.1

Multipliez $V^{- 3}$ par $1$ .

$\int V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Multipliez $V^{2}$ par $V^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int V^{- 3} + V^{2 - 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\int V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int V^{- 3} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V^{- 3}$ par rapport à $V$ est $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

L’intégrale de $V^{- 1}$ par rapport à $V$ est $\ln (| V |)$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Simplifiez

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Étape 6.2.2.7.1

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.7.2.1

Multipliez $\frac{1}{V^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Étape 8.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Étape 8.3

Multipliez $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Étape 8.3.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{y}{x}$ et $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Étape 8.4.2

Divisez $y$ par $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Étape 8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

Étape 8.5.2

Associez $2$ et $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

Étape 8.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

Étape 8.5.4

Multipliez $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ par $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$