Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sec^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (y)$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int {(1 \cos (y))}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$\int \cos^{2} (y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (y)$ en $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Laissez $u = 2 y$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.6.1

Laissez $u = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.6.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 2.2.6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.2.6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.7

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.10

Simplifiez

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.12

Simplifiez

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Étape 2.2.12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 y)$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.12.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.12.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Étape 2.2.12.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.12.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) = \arctan (x) + K$