Calcul infinitésimal Exemples

$2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$2 y d y = - 4 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 y d y = \int - 4 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int y d y = \int - 4 x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 4 x d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Étape 2.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$y^{2} + C_{1} = - 4 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $- 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$y^{2} + C_{1} = - 2 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Étape 3.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Étape 3.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Étape 3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$