Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $\frac{2 y}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x^{2} - 1} y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

Étape 2.2.2

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.2.2.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.2.2.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 2.2.2.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2.2.2.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Étape 2.2.2.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.2.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.2.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.7.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.2.2.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.7.1.2

Divisez $(A) (x - 1)$ par $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.7.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.7.4

Réécrivez $- 1 A$ comme $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.7.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.2.2.1.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Étape 2.2.2.1.7.5.2

Divisez $(B) (x + 1)$ par $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Étape 2.2.2.1.7.6

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.7.7

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Étape 2.2.2.1.8

Déplacez $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Étape 2.2.2.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.2.2.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 2.2.2.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 1 A + B$

Étape 2.2.2.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Étape 2.2.2.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.2.2.3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + B$ .

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Étape 2.2.2.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Étape 2.2.2.3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Étape 2.2.2.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- B$ dans chaque équation.

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Étape 2.2.2.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = - 1 A + B$ par $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Étape 2.2.2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.2.2.1

Simplifiez $- 1 (- B) + B$ .

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Étape 2.2.2.3.2.2.1.1

Multipliez $- 1 (- B)$ .

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Étape 2.2.2.3.2.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Étape 2.2.2.3.2.2.1.1.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Étape 2.2.2.3.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Étape 2.2.2.3.3

Résolvez $B$ dans $1 = 2 B$ .

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Étape 2.2.2.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Étape 2.2.2.3.3.2

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 B = 1$ par $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 2.2.2.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 2.2.2.3.3.2.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Étape 2.2.2.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $\frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 2.2.2.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - B$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.2.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 2.2.2.5.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 2.2.2.5.3

Déplacez $2$ à gauche de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Étape 2.2.2.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Étape 2.2.2.5.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

Étape 2.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Étape 2.2.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Étape 2.2.6

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.6.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.2.6.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2.6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Étape 2.2.7

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Étape 2.2.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

Étape 2.2.9

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.2.9.1

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.2.9.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2.2.9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.9.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

Étape 2.2.10

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

Étape 2.2.11

Simplifiez

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Étape 2.2.12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.2.12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Étape 2.2.12.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Étape 2.2.13

Simplifiez

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Étape 2.2.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.13.1.1

Associez $\ln (| x + 1 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Étape 2.2.13.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

Étape 2.2.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Étape 2.2.13.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.13.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Étape 2.2.13.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x + 1) + \ln (x - 1)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1}) + \ln (x - 1)}$

Étape 2.5

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1} (x - 1))}$

Étape 2.6

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(x + 1)}^{- 1} (x - 1)$

Étape 2.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1} (x - 1)$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{x - 1}{x + 1}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ et $y$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.5

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.6

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.7

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.4.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.4.3

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.2

Réécrivez $- 1 \frac{d y}{d x}$ comme $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.3

Développez $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.4.2

Soustrayez $\frac{d y}{d x} x$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.6.4.2.1

Déplacez $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.4.2.2

Soustrayez $x \frac{d y}{d x}$ de $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.6.4.3

Additionnez $x^{2} \frac{d y}{d x}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

Étape 3.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.8.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 3.8.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.9

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.9.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Étape 3.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Étape 3.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 3.10

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 3.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = 1$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] = 1$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] d x = \int d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = \int d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = x + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $\frac{x - 1}{x + 1} y$ .

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{x - 1}{x + 1}$ et $y$ .

$\frac{(x - 1) y}{x + 1} = x + C$

Étape 8.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(x - 1) y}{x + 1}$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} = x + C$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x + 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez $\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1)$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 8.3.1.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Étape 8.3.1.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y (x - 1) = (x + C) (x + 1)$

Étape 8.3.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y x + y \cdot - 1 = (x + C) (x + 1)$

Étape 8.3.1.1.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$y x - 1 \cdot y = (x + C) (x + 1)$

Étape 8.3.1.1.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y x - y = (x + C) (x + 1)$

Étape 8.3.1.1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$x y - y = (x + C) (x + 1)$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $(x + C) (x + 1)$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Développez $(x + C) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x y - y = x (x + 1) + C (x + 1)$

Étape 8.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C (x + 1)$

Étape 8.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Étape 8.3.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.2.1.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x y - y = x^{2} + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Étape 8.3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C \cdot 1$

Étape 8.3.2.1.2.1.3

Multipliez $C$ par $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C$

Étape 8.3.2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.2.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$x y - y = x^{2} + C x + C + x$

Étape 8.3.2.1.2.2.2

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $C x$ .

$x y - y = C x + x^{2} + C + x$

Étape 8.4

Résolvez $y$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $y$ à partir de $x y - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x - y = C x + x^{2} + C + x$

Étape 8.4.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = C x + x^{2} + C + x$

Étape 8.4.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 8.4.2.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{C x + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $C x + x^{2}$ .

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Étape 8.4.2.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $C x$ .

$y = \frac{x C + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \frac{x C + x \cdot x}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x C + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (C + x)}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x (C + x) + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x C + x \cdot x + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{x C + x^{2} + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.2.3.4.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.4.2.3.4.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3.4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{x (C + x) + 1 (C + x)}{x - 1}$

Étape 8.4.2.3.4.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $C + x$ .

$y = \frac{(C + x) (x + 1)}{x - 1}$