Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 2 y) d x - (2 x + y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x - 2 y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 1.2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Étape 1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (2 x + y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x + y)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (2 x + y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [2 x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.7

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0)$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 2$

Étape 2.8.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2$ .

$- 2 = - 2$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 2 = - 2$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (2 x + y) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = - (2 x + y)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int 2 x + y d y$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = - (\int 2 x d y + \int y d y)$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (2 x y + C + \int y d y)$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{y^{2}}{2} + C)$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + \frac{y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.3.3

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.3.5

Comme $\frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- (2 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.3.7

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$- (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.3.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 2 y$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $x - 2 y + 2 y$ .

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Étape 9.1.2.1

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Étape 10

Déterminez la primitive de $x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Étape 10.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - (2 x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$