Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ par $x e^{- t}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ par $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d x}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Étape 1.4.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- t}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $- t \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Étape 2.3.1.2.2.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Étape 3.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Étape 3.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Étape 4

Comme $x$ est positif dans la condition initiale $(0, 1)$ , ne tenez compte que de $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $t$ par $0$ et $x$ par $1$ .

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

Étape 5

Résolvez $K$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ .

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

Étape 5.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ comme ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $1$ .

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Étape 5.3.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Étape 5.3.2.1.3.3

Multipliez.

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Étape 5.3.2.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Étape 5.3.2.1.3.3.2

Simplifiez

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 + 2 K = 1$

Étape 5.4

Résolvez $K$ .

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Étape 5.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.4.1.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 K = 1 + 2$

Étape 5.4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 K = 3$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $2 K = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 K = 3$ par $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{3}{2}$

Étape 6

Remplacez $K$ par $\frac{3}{2}$ dans $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Remplacez $K$ par $\frac{3}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Étape 6.3

Pour écrire $e^{t} t$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Étape 6.4

Associez $e^{t} t$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Étape 6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

Étape 6.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{t} t$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

Étape 6.7

Pour écrire $- e^{t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

Étape 6.8

Associez $- e^{t}$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

Étape 6.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

Étape 6.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

Étape 6.11

Associez $2$ et $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Étape 6.12

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.12.1

Réduisez l’expression $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.12.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Étape 6.12.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

Étape 6.12.2

Divisez $2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ par $1$ .

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

Étape 6.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ .

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$