Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x y + 3 y - 4$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + 3 y - 4]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y + 3 y - 4$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $y$ est $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 1.4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $3 x + 3$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = {(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]$

Étape 2.2

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]$

Étape 2.3

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Étape 2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]$

Étape 2.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]$

Étape 2.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]$

Étape 2.4.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + 0$

Étape 2.11

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x + 3$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 2$ .

$3 x + 3 = 2 x + 2$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$3 x + 3 = 2 x + 2$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x + 3$ .

$\frac{3 x + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 2$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 - (2 x) - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x + 3 - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2.5

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $x + 1$ et ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x + 1}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 5.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Étape 5.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | u | + C$

Étape 5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$ par le facteur d’intégration $x + 1$ .

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Étape 6.1

Multipliez $3 x y + 3 y - 4$ par $x + 1$ .

$(3 x y + 3 y - 4) (x + 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 6.2

Développez $(3 x y + 3 y - 4) (x + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(3 x y x + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.1

Déplacez $x$ .

$(3 (x \cdot x) y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 6.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 6.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 6.3.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 6.4

Additionnez $3 x y$ et $3 y x$ .

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Étape 6.4.1

Déplacez $y$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 6.4.2

Additionnez $3 x y$ et $3 x y$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $x + 1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} (x + 1) d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $x + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Multipliez ${(x + 1)}^{2}$ par $x + 1$ .

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Étape 6.6.1.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} d y = 0$

Étape 6.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2 + 1} d y = 0$

Étape 6.6.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{3} d y = 0$

Étape 6.7

Utilisez le théorème du binôme.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

Étape 6.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

Étape 6.8.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) d y = 0$

Étape 6.8.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) d y = 0$

Étape 6.8.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.3.11

Additionnez $3 x^{2} + 6 x + 3$ et $0$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (3 x^{2}) + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

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Étape 11.5.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$3 \cdot y x^{2} + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.5.2.2

Déplacez $6$ à gauche de $y$ .

$3 y x^{2} + 6 \cdot y x + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.5.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$3 y x^{2} + 6 y x + 3 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $3 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y$

Étape 12.1.2

Soustrayez $6 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y$

Étape 12.1.3

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$

Étape 12.1.4

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$ .

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Étape 12.1.4.1

Soustrayez $3 x^{2} y$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 + 0 - 6 x y - 3 y$

Étape 12.1.4.2

Additionnez $6 x y + 3 y - 4 x - 4$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 6 x y - 3 y$

Étape 12.1.4.3

Soustrayez $6 x y$ de $6 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 + 0 - 3 y$

Étape 12.1.4.4

Additionnez $3 y - 4 x - 4$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 - 3 y$

Étape 12.1.4.5

Soustrayez $3 y$ de $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4 + 0$

Étape 12.1.4.6

Additionnez $- 4 x - 4$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 4 x - 4$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 4 x - 4 d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 4 x - 4 d x$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int - 4 x d x + \int - 4 d x$

Étape 13.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - 4 \int x d x + \int - 4 d x$

Étape 13.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

Étape 13.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

Étape 13.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

Étape 13.8

Simplifiez

$g (x) = - 2 x^{2} - 4 x + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y - 2 x^{2} - 4 x + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + 1 y - 2 x^{2} - 4 x + C$

Étape 15.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + y - 2 x^{2} - 4 x + C$