Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int 36 t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $36$ est constant par rapport à $t$ , placez $36$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 36 \int t {(9 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 9 t^{2} - 7$ . Alors $d u = 18 t d t$ , donc $\frac{1}{18} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 9 t^{2} - 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $9 t^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 t^{2} - 7$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [9 t^{2}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $9 t^{2}$ par rapport à $t$ est $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 t + \frac{d}{d t} [- 7]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $t$ est $0$ .

$18 t + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $18 t$ et $0$ .

$18 t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$s + C_{1} = 36 \int u^{3} \frac{1}{18} d u$

Étape 2.3.3

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{18}$ .

$s + C_{1} = 36 \int \frac{u^{3}}{18} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{18}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{18}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 36 (\frac{1}{18} \int u^{3} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{18}$ et $36$ .

$s + C_{1} = \frac{36}{18} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $36$ et $18$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $18$ à partir de $36$ .

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $18$ à partir de $18$ .

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18 (1)} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{18 \cdot 2}{18 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 t^{2} - 7$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(9 t^{2} - 7)}^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(9 t^{2} - 7)}^{4} + K$