Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{3}$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{2}{x + 1}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Étape 2.2.4

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.4.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.4.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(x + 1)}^{- 2}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{2}{x + 1}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Étape 3.2.4

Multipliez $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{2 y}{x + 1}$ par $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $x + 1$ par ${(x + 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.2.1

Multipliez $x + 1$ par ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 3.2.4.2.1.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Étape 3.2.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Étape 3.2.4.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Étape 7.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Étape 7.4

Simplifiez

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et ${(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3

Pour écrire $x {(x + 1)}^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.4

Associez $x {(x + 1)}^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.6

Factorisez $x {(x + 1)}^{2}$ à partir de $x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.4.2.1.6.1

Factorisez $x {(x + 1)}^{2}$ à partir de $x^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.6.2

Factorisez $x {(x + 1)}^{2}$ à partir de $x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.6.3

Factorisez $x {(x + 1)}^{2}$ à partir de $x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.7

Pour écrire $C {(x + 1)}^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8.4.2.1.8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.4.2.1.8.1

Associez $C {(x + 1)}^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Étape 8.4.2.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Étape 8.4.2.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.2.1.9.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de $x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.4.2.1.9.1.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de $x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Étape 8.4.2.1.9.1.2

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de $C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

Étape 8.4.2.1.9.1.3

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

Étape 8.4.2.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Étape 8.4.2.1.9.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Étape 8.4.2.1.9.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

Étape 8.4.2.1.9.5

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$