Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 x (1 + x^{2} - y)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- y)$

Étape 1.2

Soustrayez $2 x (- y)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - 2 x (- y) = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

Étape 1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 2 x \cdot 1 + 2 x \cdot x^{2}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 x y = 1 \cdot 2 x + 2 x^{2} x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2 \cdot - 1 x$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 x d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- 2 \cdot - 1 x$ .

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{\int 2 x d x}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int x d x}$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez

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Étape 2.2.4.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Étape 2.2.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{1 x^{2} + C}$

Étape 2.2.4.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (- 2 \cdot - 1 x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} (1 \cdot 2 x) + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + e^{x^{2}} (2 x^{2} x)$

Étape 3.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} (x^{2} x^{1})$

Étape 3.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{2 + 1}$

Étape 3.3.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 2 e^{x^{2}} x + 2 e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} + 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{x^{2}} y = \int 2 x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x^{2}} y = 2 \int x e^{x^{2}} d x + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 7.3

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.3.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 7.3.1.1

Différenciez $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 7.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.3.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 7.3.1.4

Simplifiez

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Étape 7.3.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Étape 7.3.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Étape 7.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{2} d u_{2} + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 7.4

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + \int 2 x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 7.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Étape 7.6

Laissez $u_{3} = x^{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 7.6.1

Laissez $u_{3} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 7.6.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.6.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 7.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} u_{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 7.7

Simplifiez

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Étape 7.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int u_{3} e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 7.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{3}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3}}{2} e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 7.7.3

Associez $\frac{u_{3}}{2}$ et $e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 \int \frac{u_{3} e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Étape 7.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3})$

Étape 7.9

Simplifiez

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Étape 7.9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 7.9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \frac{2}{2} \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 7.9.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + 1 \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 7.9.3

Multipliez $\int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$ par $1$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + \int u_{3} e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 7.10

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u_{3}$ et $dv = e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 7.11

L’intégrale de $e^{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $e^{u_{3}}$ .

$e^{x^{2}} y = 2 (\frac{u_{2}}{2} + C) + u_{3} e^{u_{3}} - (e^{u_{3}} + C)$

Étape 7.12

Simplifiez

$e^{x^{2}} y = u_{2} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

Étape 7.13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 7.13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + u_{3} e^{u_{3}} - e^{u_{3}} + C$

Étape 7.13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = e^{x^{2}} + x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C$

Étape 7.14

Simplifiez

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Étape 7.14.1

Soustrayez $e^{x^{2}}$ de $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + 0 + C$

Étape 7.14.2

Additionnez $x^{2} e^{x^{2}}$ et $0$ .

$e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ par $e^{x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{x^{2}} y = x^{2} e^{x^{2}} + C$ par $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun de $e^{x^{2}}$ .

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Étape 8.3.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$