Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = k \cdot y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (k \cdot y)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $k \cdot y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \cdot k)$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \cdot k)$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = k$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = k d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int k d t$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int k d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = k t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = k t + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{k t + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = k t + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{k t + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{k t + C}$ .

$| y | = e^{k t + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{k t + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{k t + C}$ comme $e^{k t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{k t} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{k t}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{k t}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{k t}$