Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + y^{2}) \cdot d x + x y \cdot d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(1 + y^{2}) \cdot d x$ des deux côtés de l’équation.

$x y \cdot d y = - (1 + y^{2}) \cdot d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x y) \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x (y)) \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x y) \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{1 + y^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (- (1 + y^{2})) \cdot d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = - \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x (1 + y^{2})}$ dans le numérateur.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) \cdot d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = \frac{- 1}{x} \cdot d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \cdot d y = - \frac{1}{x} \cdot d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (- \ln (| x |) + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \ln (| x |)) + 2 C$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| x |) = 2 C$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $\ln (| 1 + y^{2} |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Étape 5.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (x^{2}) = 2 C$

Étape 5.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | x^{2}) = 2 C$

Étape 5.4.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| 1 + y^{2} | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |) = 2 C$

Étape 5.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |)} = e^{2 C}$

Étape 5.6

Réécrivez $\ln (x^{2} | 1 + y^{2} |) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = x^{2} | 1 + y^{2} |$

Étape 5.7

Résolvez $y$ .

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Étape 5.7.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ .

$x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$

Étape 5.7.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.7.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} | 1 + y^{2} | = e^{2 C}$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 1 + y^{2} |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Étape 5.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} | 1 + y^{2} |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Étape 5.7.2.2.1.2

Divisez $| 1 + y^{2} |$ par $1$ .

$| 1 + y^{2} | = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Étape 5.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Étape 5.7.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1$

Étape 5.7.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{x^{2}} - 1}$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{2}} - 1}$