Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cos (x^{2})}{4 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{4 y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{y \cdot 4}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{y \cdot 4}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cos (x^{2})}{4}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x \cos (x^{2}) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} (\sin (u) + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \sin (u) + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \sin (x^{2}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $\sin (x^{2})$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x^{2})}{8} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{8} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{2 (4)} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{2 \cdot 4} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + K}$