Calcul infinitésimal Exemples

$(4 y - 3 x) d x + 5 x d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 4 y - 3 x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y - 3 x]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y - 3 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 5 x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $5$ .

$4 = 5$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$4 = 5$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4$ .

$\frac{4 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $5$ .

$\frac{4 - 5}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $5 x$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $5 x$ .

$\frac{4 - 5}{5 x}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$\frac{- 1}{5 x}$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5 x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{5 x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{5 x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{5 x} d x}$

Étape 5.2

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{5} \ln (| x |)} + C$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Multipliez $- \frac{1}{5} \ln (| x |)$ .

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Étape 5.5.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| x |)$ et $\frac{1}{5}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{5} \ln (| x |))} + C$

Étape 5.5.1.2

Simplifiez $\frac{1}{5} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{1}{5}})} + C$

Étape 5.5.2

Simplifiez $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{5}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{1}{5}})}^{- 1})} + C$

Étape 5.5.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{1}{5}})}^{- 1} + C$

Étape 5.5.4

Multipliez les exposants dans ${({| x |}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{1}{5} \cdot - 1} + C$

Étape 5.5.4.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 1}{5}} + C$

Étape 5.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{1}{5}} + C$

Étape 5.5.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(4 y - 3 x) d x + 5 x d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $4 y - 3 x$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$(4 y - 3 x) \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $4 y - 3 x$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $5 x$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + 5 x \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $5 x \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

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Étape 6.4.1

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + x \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} d y = 0$

Étape 6.4.2

Associez $x$ et $\frac{5}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + \frac{x \cdot 5}{x^{\frac{1}{5}}} d y = 0$

Étape 6.5

Placez $x^{\frac{1}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + x \cdot 5 x^{- \frac{1}{5}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + x^{- \frac{1}{5}} x \cdot 5 d y = 0$

Étape 6.6.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{5}}$ par $x$ .

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Étape 6.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + x^{- \frac{1}{5}} x^{1} \cdot 5 d y = 0$

Étape 6.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + x^{- \frac{1}{5} + 1} \cdot 5 d y = 0$

Étape 6.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}} \cdot 5 d y = 0$

Étape 6.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + x^{\frac{- 1 + 5}{5}} \cdot 5 d y = 0$

Étape 6.6.5

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + x^{\frac{4}{5}} \cdot 5 d y = 0$

Étape 6.7

Déplacez $5$ à gauche de $x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} d x + 5 x^{\frac{4}{5}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 5 x^{\frac{4}{5}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = 5 x^{\frac{4}{5}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 5 x^{\frac{4}{5}} y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = 5 x^{\frac{4}{5}} y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}} y + g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{\frac{4}{5}} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{5}} y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $5 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{\frac{4}{5}} y$ par rapport à $x$ est $5 y \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$5 y \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$5 y (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$5 y (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$5 y (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 y (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 y (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$5 y (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 y (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$5 y \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.9

Associez $5$ et $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$y \frac{5 (4 x^{- \frac{1}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.10

Multipliez $4$ par $5$ .

$y \frac{20 x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.11

Associez $y$ et $\frac{20 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ .

$\frac{y (20 x^{- \frac{1}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.12

Déplacez $20$ à gauche de $y$ .

$\frac{20 \cdot y x^{- \frac{1}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.13

Placez $x^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20 y}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.14

Factorisez $5$ à partir de $20 y$ .

$\frac{5 (4 y)}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.15.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{5 (4 y)}{5 (x^{\frac{1}{5}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (4 y)}{5 x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.3.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y}{x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{4 y}{x^{\frac{1}{5}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{4 y}{x^{\frac{1}{5}}} = \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Simplifiez $\frac{d g}{d x} + \frac{4 y}{x^{\frac{1}{5}}} - \frac{4 y - 3 x}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

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Étape 12.1.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{4 y - (4 y - 3 x)}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{4 y - (4 y) - (- 3 x)}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{4 y - 4 y - (- 3 x)}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{4 y - 4 y + 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 12.1.1.3.1

Soustrayez $4 y$ de $4 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 + 3 x}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Additionnez $0$ et $3 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 x}{x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.4.1

Placez $x^{\frac{1}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{5}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1.4.2.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 (x^{- \frac{1}{5}} x) = 0$

Étape 12.1.1.4.2.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{5}}$ par $x$ .

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Étape 12.1.1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 (x^{- \frac{1}{5}} x^{1}) = 0$

Étape 12.1.1.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{- \frac{1}{5} + 1} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{\frac{- 1 + 5}{5}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2.5

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{\frac{4}{5}} = 0$

Étape 12.1.2

Soustrayez $3 x^{\frac{4}{5}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = - 3 x^{\frac{4}{5}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 3 x^{\frac{4}{5}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - 3 x^{\frac{4}{5}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 3 x^{\frac{4}{5}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 3 x^{\frac{4}{5}} d x$

Étape 13.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - 3 \int x^{\frac{4}{5}} d x$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}}$ .

$g (x) = - 3 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $- 3 (\frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C)$ comme $- 3 (\frac{5}{9}) x^{\frac{9}{5}} + C$ .

$g (x) = - 3 (\frac{5}{9}) x^{\frac{9}{5}} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{5}{9}$ .

$g (x) = \frac{- 3 \cdot 5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C$

Étape 13.5.2.2

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$g (x) = \frac{- 15}{9} x^{\frac{9}{5}} + C$

Étape 13.5.2.3

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $9$ .

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Étape 13.5.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$g (x) = \frac{3 (- 5)}{9} x^{\frac{9}{5}} + C$

Étape 13.5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.5.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{5}} + C$

Étape 13.5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{5}} + C$

Étape 13.5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{- 5}{3} x^{\frac{9}{5}} + C$

Étape 13.5.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (x) = - \frac{5}{3} x^{\frac{9}{5}} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = 5 x^{\frac{4}{5}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = 5 x^{\frac{4}{5}} y - \frac{5}{3} x^{\frac{9}{5}} + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = 5 x^{\frac{4}{5}} y - \frac{5}{3} x^{\frac{9}{5}} + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $x^{\frac{9}{5}}$ et $\frac{5}{3}$ .

$f (x, y) = 5 x^{\frac{4}{5}} y - \frac{x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{3} + C$

Étape 15.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{\frac{9}{5}}$ .

$f (x, y) = 5 x^{\frac{4}{5}} y - \frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{3} + C$

Étape 15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = 5 x^{\frac{4}{5}} y - \frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{3} + C$ .

$f (x, y) = 5 y x^{\frac{4}{5}} - \frac{5 x^{\frac{9}{5}}}{3} + C$