Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 2 - 4 x^{3}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{3}}{x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x^{1}}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

Étape 1.1.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{x (- 4 x^{2})}{x \cdot 1}$

Étape 1.1.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{- 4 x^{2}}{1}$

Étape 1.1.3.1.2.5

Divisez $- 4 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} - 4 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{2}{x} - 4 x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} - 4 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int - 4 x^{2} d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 4 x^{2} d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) + \frac{- 4}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = - \frac{4}{3} x^{3} + 2 \ln (| x |) + C$