Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y - y$ , $y (1) = - 3$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $4 x^{3} y - y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $4 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) - y$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (4 x^{3}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{3} - 1)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{3} - 1))$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = x^{4} - x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{4} - x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = x^{4} - x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{4} - x + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{x^{4} - x + C}$ .

$| y | = e^{x^{4} - x + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{x^{4} - x + C}$ comme $e^{x^{4} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{4} - x} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{x^{4} - x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{4} - x}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{x^{4} - x}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $- 3$ dans $y = C e^{x^{4} - x}$ .

$- 3 = C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$ .

$C e^{1^{4} - 1 \cdot 1} = - 3$

Étape 6.2

Simplifiez $C e^{1^{4} - 1 \cdot 1}$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$C e^{1 - 1 \cdot 1} = - 3$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$C e^{1 - 1} = - 3$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$C e^{0} = - 3$

Étape 6.2.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$C \cdot 1 = - 3$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $C$ par $1$ .

$C = - 3$

Étape 7

Remplacez $C$ par $- 3$ dans $y = C e^{x^{4} - x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $- 3$ .

$y = - 3 e^{x^{4} - x}$