Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - x^{2}}{3 x y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Séparez $\frac{y^{2} - x^{2}}{3 x y}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{y^{2} - x^{2}}{3 x y}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{3 x y} + \frac{- x^{2}}{3 x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{3 x y} + \frac{- x^{2}}{3 x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (3 x)} + \frac{- x^{2}}{3 x y}$

Étape 1.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (3 x)} + \frac{- x^{2}}{3 x y}$

Étape 1.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} + \frac{- x^{2}}{3 x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} + \frac{x (- x)}{3 x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} + \frac{x (- x)}{x (3 y)}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} + \frac{x (- x)}{x (3 y)}$

Étape 1.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} + \frac{- x}{3 y}$

Étape 1.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x} - \frac{x}{3 y}$

Étape 1.2

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y}{3 x}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y}{3 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{3} - \frac{x}{3 y}$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{3 y}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation différentielle comme $f (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ dans $\frac{x}{3 y}$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ à partir de $\frac{x}{3 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 1.3.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{x}{y}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{x}{y})$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{3} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} V - (\frac{1}{3} V^{- 1})$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{3} V - (\frac{1}{3} V^{- 1})$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{3} - \frac{1}{3} V^{- 1}$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{V}$

Étape 6.1.1.1.3

Multipliez $\frac{1}{V}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{3} - \frac{1}{V \cdot 3}$

Étape 6.1.1.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{3} - \frac{1}{3 V}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} - \frac{1}{3 V} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} - \frac{1}{3 V} - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{3} - \frac{1}{3 V} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{3}}{x} + \frac{- \frac{1}{3 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{3} - \frac{1}{3 V} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V}{3} - V \cdot \frac{3}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.3.3.3.1

Associez $- V$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V}{3} + \frac{- V \cdot 3}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V - V \cdot 3}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Factorisez $V$ à partir de $V - V \cdot 3$ .

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 3}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factorisez $V$ à partir de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 3}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factorisez $V$ à partir de $- V \cdot 3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 3)}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 3)}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V (1 - 3)}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{V \cdot - 2}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} + \frac{- 2 \cdot V}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{3 V} - \frac{2 V}{3}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{3 V} - \frac{2 V}{3}$ .

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Étape 6.1.1.3.3.4.1.1

Remettez dans l’ordre $- \frac{1}{3 V}$ et $- \frac{2 V}{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{2 V}{3} - \frac{1}{3 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{2 V}{3}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{2 V}{3}) - \frac{1}{3 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{3 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{2 V}{3}) - (\frac{1}{3 V})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{2 V}{3}) - (\frac{1}{3 V})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{2 V}{3} + \frac{1}{3 V})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.2

Pour écrire $\frac{2 V}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{2 V}{3} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{3 V})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.3

Multipliez $\frac{2 V}{3}$ par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{2 V \cdot V}{3 V} + \frac{1}{3 V})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{2 V \cdot V + 1}{3 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.5

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.3.3.4.5.1

Déplacez $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{2 (V \cdot V) + 1}{3 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.5.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{2 V^{2} + 1}{3 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{3 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.6

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{2 V^{2} + 1}{3 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{x (3 V)}$

Étape 6.1.1.3.3.7

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{3 x V}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{2 V^{2} + 1}{3 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{3 V}{2 V^{2} + 1}$ .

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2 V^{2} + 1} (- \frac{2 V^{2} + 1}{3 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{3 V}{2 V^{2} + 1} (\frac{2 V^{2} + 1}{3 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $\frac{2 V^{2} + 1}{3 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{3 V x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $3 V$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 V}{2 V^{2} + 1}$ dans le numérateur.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 3 V}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{3 V x}$

Étape 6.1.4.3.2

Factorisez $3 V$ à partir de $- 3 V$ .

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V (- 1)}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{3 V x}$

Étape 6.1.4.3.3

Factorisez $3 V$ à partir de $3 V x$ .

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V (- 1)}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{3 V (x)}$

Étape 6.1.4.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{3 V \cdot - 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{3 V x}$

Étape 6.1.4.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{x}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2 V^{2} + 1$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{2 V^{2} + 1} \cdot \frac{2 V^{2} + 1}{x}$

Étape 6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{3 V}{2 V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{3 V}{2 V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $V$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{V}{2 V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Laissez $u = 2 V^{2} + 1$ . Alors $d u = 4 V d V$ , donc $\frac{1}{4} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Laissez $u = 2 V^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Différenciez $2 V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [2 V^{2} + 1]$

Étape 6.2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 V^{2} + 1$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [2 V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [2 V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d V} [2 V^{2}]$ .

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Étape 6.2.2.2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $2 V^{2}$ par rapport à $V$ est $2 \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 V) + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 V + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.2.2.2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$4 V + 0$

Étape 6.2.2.2.1.4.2

Additionnez $4 V$ et $0$ .

$4 V$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $u$ .

$3 \int \frac{1}{4 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Simplifiez

$\frac{3}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 V^{2} + 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |)) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $\frac{4}{3} (\frac{3}{4} \ln (| 2 V^{2} + 1 |))$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $\ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Associez.

$\frac{4 (3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |))}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |)}{3} = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.4.2

Divisez $\ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez $\frac{4}{3} (- \ln (| x |) + C)$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = \frac{4}{3} (- \ln (| x |)) + \frac{4}{3} C$

Étape 6.3.2.2.1.2

Associez $\frac{4}{3}$ et $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4}{3} C$

Étape 6.3.2.2.1.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $C$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$

Étape 6.3.3

Multiplier chaque terme dans $\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} + \frac{4 C}{3}$ par $3$ .

$\ln (| 2 V^{2} + 1 |) \cdot 3 = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ .

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - \frac{4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.3.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 \ln (| x |)}{3}$ dans le numérateur.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 6.3.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = \frac{- 4 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 6.3.3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 6.3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - 4 \ln (| x |) + \frac{4 C}{3} \cdot 3$

Étape 6.3.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) = - 4 \ln (| x |) + 4 C$

Étape 6.3.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Étape 6.3.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.5.1

Simplifiez $3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |) + 4 \ln (| x |)$ .

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Étape 6.3.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.5.1.1.1

Simplifiez $3 \ln (| 2 V^{2} + 1 |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln ({| 2 V^{2} + 1 |}^{3}) + 4 \ln (| x |) = 4 C$

Étape 6.3.5.1.1.2

Simplifiez $4 \ln (| x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln ({| 2 V^{2} + 1 |}^{3}) + \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Étape 6.3.5.1.1.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln ({| 2 V^{2} + 1 |}^{3}) + \ln (x^{4}) = 4 C$

Étape 6.3.5.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 2 V^{2} + 1 |}^{3} x^{4}) = 4 C$

Étape 6.3.5.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({| 2 V^{2} + 1 |}^{3} x^{4})$ .

$\ln (x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3}) = 4 C$

Étape 6.3.6

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3})} = e^{4 C}$

Étape 6.3.7

Réécrivez $\ln (x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3}) = 4 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3}$

Étape 6.3.8

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.8.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3} = e^{4 C}$ .

$x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3} = e^{4 C}$

Étape 6.3.8.2

Divisez chaque terme dans $x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3} = e^{4 C}$ par $x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.8.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3} = e^{4 C}$ par $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Étape 6.3.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 6.3.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} {| 2 V^{2} + 1 |}^{3}}{x^{4}} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Étape 6.3.8.2.2.1.2

Divisez ${| 2 V^{2} + 1 |}^{3}$ par $1$ .

${| 2 V^{2} + 1 |}^{3} = \frac{e^{4 C}}{x^{4}}$

Étape 6.3.8.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$| 2 V^{2} + 1 | = \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$

Étape 6.3.8.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x^{4}}}$ .

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Étape 6.3.8.4.1

Réécrivez $\frac{e^{4 C}}{x^{4}}$ comme ${(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}$ .

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Étape 6.3.8.4.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $e^{4 C}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{4}}}$

Étape 6.3.8.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite $x^{3}$ dans $x^{4}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}}$

Étape 6.3.8.4.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} e^{4 C}}{x^{3} x}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x})}^{3} \frac{e^{4 C}}{x}}$

Étape 6.3.8.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{1}{x} \sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$

Étape 6.3.8.4.3

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{e^{4 C}}{x}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 6.3.8.4.4

Associez.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Étape 6.3.8.4.5

Multipliez $\sqrt[3]{e^{4 C}}$ par $1$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$

Étape 6.3.8.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 6.3.8.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.8.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C}}}{x \sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Étape 6.3.8.4.7.2

Déplacez $\sqrt[3]{x}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x (\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Étape 6.3.8.4.7.3

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x ({\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2})}$

Étape 6.3.8.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Étape 6.3.8.4.7.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Étape 6.3.8.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 6.3.8.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 6.3.8.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 6.3.8.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 6.3.8.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.8.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 6.3.8.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x^{1}}$

Étape 6.3.8.4.7.6.5

Simplifiez

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x \cdot x}$

Étape 6.3.8.4.8

Multipliez $x$ par $x$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.9

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C}} \sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.4.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{e^{4 C} x^{2}}}{x^{2}}$ .

$| 2 V^{2} + 1 | = \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.5

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 V^{2} + 1 = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}$

Étape 6.3.8.6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 V^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1$

Étape 6.3.8.7

Divisez chaque terme dans $2 V^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.8.7.1

Divisez chaque terme dans $2 V^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 V^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.8.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.8.7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.8.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V^{2}}{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.8.7.2.1.2

Divisez $V^{2}$ par $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.8.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.8.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$V^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.8.8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 6.3.8.9

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}}}{2} - \frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.8.9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}{2}}$

Étape 6.3.8.9.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.8.9.3

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.8.9.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.8.9.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.8.9.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.8.9.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 6.3.8.9.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.8.9.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.3.8.9.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.3.8.9.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.8.9.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.8.9.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.8.9.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.8.9.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.8.9.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 6.3.8.9.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1} \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3.8.9.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{4 C}}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}) x$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}) x$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\pm \frac{\sqrt{(\pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{x^{2}} - 1) \cdot 2}}{2}) x$