Calcul infinitésimal Exemples

$(9 x^{2} + y - 1) d x - (4 y - x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 9 x^{2} + y - 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [9 x^{2} + y - 1]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} + y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3

Comme $9 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + 0$

Étape 1.6

Associez des termes.

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Étape 1.6.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (4 y - x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (4 y - x)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (4 y - x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [4 y - x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [4 y - x]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.4

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Multipliez.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7.2

Multipliez $\frac{d}{d x} [x]$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$1 = 1$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$1 = 1$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (4 y - x) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = - (4 y - x)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int 4 y - x d y$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = - (\int 4 y d y + \int - x d y)$

Étape 5.3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (4 \int y d y + \int - x d y)$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x d y)$

Étape 5.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x y + C)$

Étape 5.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - x y + C)$

Étape 5.7

Simplifiez

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y) + g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (2 y^{2} - x y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (2 y^{2} - x y)]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (2 y^{2} - x y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [2 y^{2} - x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 y^{2} - x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{2} - x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.3.3

Comme $2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d x} [- x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.3.4

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (0 - y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (0 - y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (0 - y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.3.7

Soustrayez $y$ de $0$ .

$- - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.3.9

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y = 9 x^{2} + y - 1$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + y - 1 - y$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $9 x^{2} + y - 1 - y$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} + 0 - 1$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} - 1$

Étape 10

Déterminez la primitive de $9 x^{2} - 1$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 9 x^{2} - 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 9 x^{2} - 1 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 9 x^{2} - 1 d x$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int 9 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 10.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 9 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 d x$

Étape 10.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - x + C$

Étape 10.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$g (x) = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C) - x + C$

Étape 10.8

Simplifiez

$g (x) = 3 x^{3} - x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 y^{2} - x y) + 3 x^{3} - x + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - (2 y^{2}) - (- x y) + 3 x^{3} - x + C$

Étape 12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} - (- x y) + 3 x^{3} - x + C$

Étape 12.3

Multipliez $- (- x y)$ .

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Étape 12.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} + 1 (x y) + 3 x^{3} - x + C$

Étape 12.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = - 2 y^{2} + x y + 3 x^{3} - x + C$