Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $r$ à partir de $r θ + r$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $r$ à partir de $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

Étape 1.1.2

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

Étape 1.1.3

Factorisez $r$ à partir de $r^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

Étape 1.1.4

Factorisez $r$ à partir de $r (θ) + r \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

Étape 1.2

Factorisez $θ$ à partir de $r θ + θ$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $θ$ à partir de $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

Étape 1.2.2

Élevez $θ$ à la puissance $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

Étape 1.2.3

Factorisez $θ$ à partir de $θ^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

Étape 1.2.4

Factorisez $θ$ à partir de $θ r + θ \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{r}{r + 1}$ par $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $r + 1$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $r + 1$ à partir de $(r + 1) θ$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{r}$ par rapport à $r$ est $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $θ$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{θ}$ par rapport à $θ$ est $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $θ$ par $1$ et $r$ par $e$ dans $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ .

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

Étape 4.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

Étape 4.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

Étape 4.5

$e$ est d’environ $2.71828182$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

Étape 4.6

Réécrivez $\frac{1}{e}$ comme $1 e^{- 1}$ .

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Étape 4.7

Réécrivez $\ln (1 e^{- 1})$ comme $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Étape 4.8

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

Étape 4.9

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

Étape 4.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

Étape 4.11

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$0 - 1 = - 1 - C + e$

Étape 4.12

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1 = - 1 - C + e$

Étape 4.13

Comme $C$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 1 - C + e = - 1$

Étape 4.14

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.14.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- C + e = - 1 + 1$

Étape 4.14.2

Soustrayez $e$ des deux côtés de l’équation.

$- C = - 1 + 1 - e$

Étape 4.14.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- C = 0 - e$

Étape 4.14.4

Soustrayez $e$ de $0$ .

$- C = - e$

Étape 4.15

Divisez chaque terme dans $- C = - e$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.15.1

Divisez chaque terme dans $- C = - e$ par $- 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

Étape 4.15.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.15.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

Étape 4.15.2.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{- e}{- 1}$

Étape 4.15.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.15.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$C = \frac{e}{1}$

Étape 4.15.3.2

Divisez $e$ par $1$ .

$C = e$

Étape 5

Remplacez $C$ par $e$ dans $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $e$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$