Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) \sin (y) d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \sin (x) \sin (y)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (x) \sin (y)]$

Étape 1.2

Comme $\sin (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\sin (x) \sin (y)$ par rapport à $y$ est $\sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \sin (x) \cos (y)$

Étape 1.4

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) \sin (x)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

Étape 2.2

Comme $\cos (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\cos (x) \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

Étape 2.4

Réorganisez les facteurs de $\cos (y) (- \sin (x))$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\cos (y) \sin (x)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- \cos (y) \sin (x)$ .

$\cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$\cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\cos (y) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- \cos (y) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) - (- \cos (y) \sin (x))}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $\cos (x) \cos (y)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $\cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $\cos (y) \sin (x)$ à partir de $\cos (y) \sin (x) - (- \cos (y) \sin (x))$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $\cos (y) \sin (x)$ à partir de $\cos (y) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) (1) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $\cos (y) \sin (x)$ à partir de $- (- \cos (y) \sin (x))$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) (1) + \cos (y) \sin (x) (- (- 1))}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $\cos (y) \sin (x)$ à partir de $\cos (y) \sin (x) (1) + \cos (y) \sin (x) (- (- 1))$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) (1 - (- 1))}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) (1 + 1)}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 4.3.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (y) \sin (x) \cdot 2}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $\cos (y)$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (y) \sin (x) \cdot 2}{\cos (x) \cos (y)}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$

Étape 4.3.4

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.3.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{2}{1} \tan (x)$

Étape 4.3.6

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \tan (x)$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (x) d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int 2 \tan (x) d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (x) d x}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (x) |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $2 \ln (| \sec (x) |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (x) |}^{2})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| \sec (x) |}^{2} + C$

Étape 5.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| \sec (x) |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = \sec^{2} (x) + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $\sin (x) \sin (y) d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 6.1

Multipliez $\sin (x) \sin (y)$ par $\sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \sin (y) \sec^{2} (x) d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) \sin (y) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) \sin (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sin (x) \sin (y) \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $\sin (x) \sin (y) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

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Étape 6.5.1

Associez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (y) d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.5.2

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos^{2} (x)} d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.6

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (x)} d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.7

Séparez les fractions.

$\frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.8

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (y)}{\cos (x)} \tan (x) d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.9

Réécrivez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.10

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.11

Simplifiez

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Étape 6.11.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.11.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (x) \cos (y) d y = 0$

Étape 6.12

Multipliez $\cos (x) \cos (y)$ par $\sec^{2} (x)$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (x) \cos (y) \sec^{2} (x) d y = 0$

Étape 6.13

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (x) \cos (y) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} d y = 0$

Étape 6.14

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (x) \cos (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d y = 0$

Étape 6.15

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.15.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \cos (y)$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (x) (\cos (y)) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d y = 0$

Étape 6.15.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (x) (\cos (y)) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} d y = 0$

Étape 6.15.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (x) \cos (y) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} d y = 0$

Étape 6.15.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (y) \frac{1^{2}}{\cos (x)} d y = 0$

Étape 6.16

Associez $\cos (y)$ et $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \frac{\cos (y) \cdot 1^{2}}{\cos (x)} d y = 0$

Étape 6.17

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \frac{\cos (y) \cdot 1}{\cos (x)} d y = 0$

Étape 6.18

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \frac{\cos (y)}{\cos (x)} d y = 0$

Étape 6.19

Réécrivez $\frac{\cos (y)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (y) \frac{1}{\cos (x)} d y = 0$

Étape 6.20

Écrivez $\cos (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} d y = 0$

Étape 6.21

Simplifiez

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Étape 6.21.1

Divisez $\cos (y)$ par $1$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (y) \frac{1}{\cos (x)} d y = 0$

Étape 6.21.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) d x + \cos (y) \sec (x) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (y) \sec (x) d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = \cos (y) \sec (x)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\sec (x)$ est constant par rapport à $y$ , placez $\sec (x)$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \sec (x) \int \cos (y) d y$

Étape 8.2

L’intégrale de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $\sin (y)$ .

$f (x, y) = \sec (x) (\sin (y) + C)$

Étape 8.3

Simplifiez

$f (x, y) = \sec (x) \sin (y) + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \sec (x) \sin (y) + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (y) + g (x)] = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) \sin (y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sec (x) \sin (y)]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $\sin (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sec (x) \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\sin (y) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.3.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) \sec (x) \tan (x) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \sec (x) \sin (y) \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.5.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{\cos (x)} \sin (y) \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.2.2

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.2.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.2.4

Multipliez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 11.5.2.4.1

Multipliez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.2.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.2.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.5.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.3.2

Séparez les fractions.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.3.3

Réécrivez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x)}) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.3.4

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.3.5

Simplifiez

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Étape 11.5.3.5.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x)}) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.3.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \sec (x)) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 11.5.3.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.1.1

Simplifiez $\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x)$ .

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Étape 12.1.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (y) \sec (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.1.2

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)} \sec (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.1.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.1.4

Multipliez $\frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 12.1.1.1.1.4.1

Multipliez $\frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos^{2} (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.1.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.2.4

Réécrivez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.2.5

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1.1.2.6.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.1.1.2.6.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.2.1

Simplifiez $\sin (y) \sec (x) \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 12.1.2.1.2

Associez $\sin (y)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 12.1.2.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 12.1.2.1.4

Multipliez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.2.1.4.1

Multipliez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 12.1.2.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Étape 12.1.2.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Étape 12.1.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 12.1.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 12.1.2.1.5

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 12.1.2.1.6

Séparez les fractions.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (x)}$

Étape 12.1.2.1.7

Réécrivez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 12.1.2.1.8

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 12.1.2.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.2.1.9.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 12.1.2.1.9.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \sec (x))$

Étape 12.1.2.1.10

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3

Simplifiez $\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.1.2

Associez $\sin (y)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \tan (x) = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.1.4

Multipliez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.1.4.1

Multipliez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (x)} = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.2.3

Réécrivez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x)}) = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.2.4

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.2.5.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x)}) = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.2.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \sec (x)) = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.3.2.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.4

Simplifiez $\tan (x) \sin (y) \sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.4.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.4.2

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)} \sec (x)$

Étape 12.1.4.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 12.1.4.4

Multipliez $\frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.4.4.1

Multipliez $\frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 12.1.4.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Étape 12.1.4.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Étape 12.1.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (x) \sin (y)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 12.1.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 12.1.4.5

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 12.1.4.6

Séparez les fractions.

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 12.1.4.7

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 12.1.4.8

Réécrivez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 12.1.4.9

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 12.1.4.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.4.10.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 12.1.4.10.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5

Simplifiez $\frac{d g}{d x} + \tan (x) \sin (y) \sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.5.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (y) \sec (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.1.2

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)} \sec (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.1.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.1.4

Multipliez $\frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.5.1.4.1

Multipliez $\frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos^{2} (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.5.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.2.4

Réécrivez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.2.5

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.5.2.6.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.5.2.6.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.6

Simplifiez $\sin (y) \sec (x) \tan (x)$ .

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Étape 12.1.6.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 12.1.6.2

Associez $\sin (y)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 12.1.6.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 12.1.6.4

Multipliez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 12.1.6.4.1

Multipliez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 12.1.6.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Étape 12.1.6.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Étape 12.1.6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 12.1.6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 12.1.6.5

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 12.1.6.6

Séparez les fractions.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (x)}$

Étape 12.1.6.7

Réécrivez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 12.1.6.8

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 12.1.6.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.6.9.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 12.1.6.9.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\sin (y) \sec (x))$

Étape 12.1.6.10

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) \sec (x) \tan (x) = \tan (x) \sin (y) \sec (x)$

Étape 12.1.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.7.1

Soustrayez $\sin (y) \sec (x) \tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) \sin (y) \sec (x) - \sin (y) \sec (x) \tan (x)$

Étape 12.1.7.2

Associez les termes opposés dans $\tan (x) \sin (y) \sec (x) - \sin (y) \sec (x) \tan (x)$ .

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Étape 12.1.7.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\tan (x) \sin (y) \sec (x)$ et $- \sin (y) \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec (x) \sin (y) \tan (x) - \sec (x) \sin (y) \tan (x)$

Étape 12.1.7.2.2

Soustrayez $\sec (x) \sin (y) \tan (x)$ de $\sec (x) \sin (y) \tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \sec (x) \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \sec (x) \sin (y) + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = \sec (x) \sin (y) + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$f (x, y) = \frac{1}{\cos (x)} \sin (y) + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\sin (y)}{\cos (x)} + C$

Étape 15.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1

Réécrivez $\frac{\sin (y)}{\cos (x)}$ comme un produit.

$f (x, y) = \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} + C$

Étape 15.2.2

Écrivez $\sin (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (x, y) = \frac{\sin (y)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + C$

Étape 15.2.3

Simplifiez

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Étape 15.2.3.1

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$f (x, y) = \sin (y) \frac{1}{\cos (x)} + C$

Étape 15.2.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$f (x, y) = \sin (y) \sec (x) + C$