Calcul infinitésimal Exemples

$x y y' = x^{2} + 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ par $x y$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ par $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.1.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Pour écrire $\frac{x}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{x}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.2.2.2

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Étape 2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{x y}$

Étape 2.2.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Étape 2.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 1}{x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Étape 2.6

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.3.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 3.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 4.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 4.3

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Étape 4.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Étape 4.5

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 4.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 4.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 4.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 5

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$