Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3 y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3 y^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{y^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{y^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Étape 2.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 \int x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Étape 2.3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 \int x^{2} d x + \int d x)$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int d x)$

Étape 2.3.7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Étape 2.3.8.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{3} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{3} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = x^{4} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = x^{4} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + x + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{x^{4} + x^{3} + x + 3 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{x^{4} + x^{3} + x + K}$