Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ par $2 x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ par $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} \frac{d y}{d x}}{2 x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} \frac{d y}{d x}}{2 x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x}$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y}{2 x}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x}$

Étape 1.3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V \cdot V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V \cdot V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.1.1.1

Déplacez $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (V \cdot V)$

Étape 6.1.1.1.1.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V^{2}$

Étape 6.1.1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.1.4

Associez.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2} \cdot 1}{2 x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.1.5

Multipliez $V^{2}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2 x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x}$

Étape 6.1.2

Factorisez.

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Étape 6.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x}$

Étape 6.1.2.2

Pour écrire $- \frac{V}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.1.2.3.1

Multipliez $\frac{V}{x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V \cdot 2}{x \cdot 2}$

Étape 6.1.2.3.2

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V \cdot 2}{2 x}$

Étape 6.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V \cdot 2}{2 x}$

Étape 6.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - 2 V}{2 x}$

Étape 6.1.2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 V + 1}{2 x}$

Étape 6.1.2.5.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.1.2.5.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 V + 1^{2}}{2 x}$

Étape 6.1.2.5.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 V = 2 \cdot V \cdot 1$

Étape 6.1.2.5.3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 \cdot V \cdot 1 + 1^{2}}{2 x}$

Étape 6.1.2.5.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = V$ et $b = 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{{(V - 1)}^{2}}{2 x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(V - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(V - 1)}^{2}}{2 x}$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Associez.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 {(V - 1)}^{2}}{{(V - 1)}^{2} (2 x)}$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun de ${(V - 1)}^{2}$ .

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Étape 6.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 {(V - 1)}^{2}}{{(V - 1)}^{2} (2 x)}$

Étape 6.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u = V - 1$ . Puis $d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u = V - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $V - 1$ .

$\frac{d}{d V} [V - 1]$

Étape 6.2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $V - 1$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [- 1]$

Étape 6.2.2.1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.2.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.4

Réécrivez $- u^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $V - 1$ .

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{V - 1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 6.3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$V - 1, 1, 1$

Étape 6.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$V - 1, 1, 1$

Étape 6.3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$V - 1$

Étape 6.3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ par $V - 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ par $V - 1$ .

$- \frac{1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $V - 1$ .

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Étape 6.3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{V - 1}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Étape 6.3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Étape 6.3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + C (V - 1)$

Étape 6.3.3.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - 1 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C (V - 1)$

Étape 6.3.3.3.1.3

Réécrivez $- 1 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ comme $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C (V - 1)$

Étape 6.3.3.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V + C \cdot - 1$

Étape 6.3.3.3.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $C$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - 1 \cdot C$

Étape 6.3.3.3.1.6

Réécrivez $- 1 C$ comme $- C$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$

Étape 6.3.3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$ .

$- 1 = V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$

Étape 6.3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C = - 1$ .

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C = - 1$

Étape 6.3.4.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = - C V + C - 1$

Étape 6.3.4.3

Ajoutez $C V$ aux deux côtés de l’équation.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V = C - 1$

Étape 6.3.4.4

Ajoutez $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ aux deux côtés de l’équation.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.4.5

Factorisez $V$ à partir de $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V$ .

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Étape 6.3.4.5.1

Factorisez $V$ à partir de $C V$ .

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + V C = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.4.5.2

Factorisez $V$ à partir de $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + V C$ .

$V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.3.4.6

Divisez chaque terme dans $V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ par $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.6.1

Divisez chaque terme dans $V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ par $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Étape 6.3.4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

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Étape 6.3.4.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.3.4.6.2.1.2

Divisez $V$ par $1$ .

$V = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Étape 6.3.4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$V = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Étape 6.3.4.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = \frac{C - 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Étape 6.3.4.6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = \frac{C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez $\frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun à $C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ et $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

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Étape 8.2.2.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} x$

Étape 8.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} x$

Étape 8.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y = 1 x$

Étape 8.2.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = x$