Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x y}$ , $y (1) = 2$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{\ln (x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\ln (x)}{x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x y}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{y x}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3.1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int u d u$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln^{2} (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln^{2} (x)}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{\ln^{2} (x)}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \ln^{2} (x) + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

$y = - \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$

Étape 5

Comme $y$ est positif dans la condition initiale $(1, 2)$ , ne tenez compte que de $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $1$ et $y$ par $2$ .

$2 = \sqrt{\ln^{2} (1) + K}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$ .

$\sqrt{\ln^{2} (1) + K} = 2$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\ln^{2} (1) + K}}^{2} = 2^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\ln^{2} (1) + K}$ comme ${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\ln^{2} (1) + K)}^{1} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.2.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

${(0^{2} + K)}^{1} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.3

Simplifiez en ajoutant des zéros.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.3.1

Additionnez $0$ et $K$ .

$K^{1} = 2^{2}$

Étape 6.3.2.1.3.2

Simplifiez

$K = 2^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$K = 4$

Étape 7

Remplacez $K$ par $4$ dans $y = \sqrt{\ln^{2} (x) + K}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez $K$ par $4$ .

$y = \sqrt{\ln^{2} (x) + 4}$