Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} + u^{4} t^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez $u t^{2}$ à partir de $u t^{2} + u^{4} t^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $u t^{2}$ à partir de $u t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u^{4} t^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $u t^{2}$ à partir de $u^{4} t^{2}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $u t^{2}$ à partir de $u t^{2} (1) + u t^{2} (u^{3})$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u^{3})}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1^{3} + u^{3})}$

Étape 1.1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2}))}$

Étape 1.1.4

Factorisez.

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Étape 1.1.4.1

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2}))}$

Étape 1.1.4.1.2

Réécrivez $- 1 u$ comme $- u$ .

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} ((1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Étape 1.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{u t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $u (1 + u) (1 - u + u^{2})$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.2

Multipliez $u$ par $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.3

Multipliez $u$ par $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{2}) (1 - u + u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.4

Développez $(u + u^{2}) (1 - u + u^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.5

Associez les termes opposés dans $u \cdot 1 + u (- u) + u \cdot u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u) + u^{2} u^{2}$ .

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Étape 1.4.5.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $u \cdot u^{2}$ et $u^{2} (- u)$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} u + u^{2} \cdot 1 - u^{2} u + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.5.2

Soustrayez $u^{2} u$ de $u^{2} u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + 0 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.5.3

Additionnez $u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1$ et $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u \cdot 1 + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.6.1

Multipliez $u$ par $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u (- u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u \cdot u + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.6.3

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.6.3.1

Déplacez $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - (u \cdot u) + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.6.3.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.6.4

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.6.5

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.6.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.6.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u - u^{2} + u^{2} + u^{4}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.7

Associez les termes opposés dans $u - u^{2} + u^{2} + u^{4}$ .

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Étape 1.4.7.1

Additionnez $- u^{2}$ et $u^{2}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + 0 + u^{4}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.7.2

Additionnez $u$ et $0$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) (\frac{7 + t^{4}}{t^{2}} \cdot \frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})})$

Étape 1.4.8

Multipliez $\frac{7 + t^{4}}{t^{2}}$ par $\frac{1}{u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{7 + t^{4}}{t^{2} (u (1 + u) (1 - u + u^{2}))}$

Étape 1.4.9

Supprimez les parenthèses.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = (u + u^{4}) \frac{7 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.10

Multipliez $u + u^{4}$ par $\frac{7 + t^{4}}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u + u^{4}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.11.1

Factorisez $u$ à partir de $u + u^{4}$ .

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Étape 1.4.11.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u^{1} + u^{4}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.11.1.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u^{4}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.11.1.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{4}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(u \cdot 1 + u \cdot u^{3}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.11.1.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 1 + u \cdot u^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u^{3}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.11.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1^{3} + u^{3}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.11.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1^{2} - 1 u + u^{2})) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.11.4

Simplifiez

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Étape 1.4.11.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - 1 u + u^{2})) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.11.4.2

Réécrivez $- 1 u$ comme $- u$ .

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u ((1 + u) (1 - u + u^{2})) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.12

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 1.4.12.1

Annulez le facteur commun.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{u (1 + u) (1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} u (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.12.2

Réécrivez l’expression.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{((1 + u) (1 - u + u^{2})) (7 + t^{4})}{(t^{2} (1 + u)) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.13

Annulez le facteur commun de $1 + u$ .

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Étape 1.4.13.1

Annulez le facteur commun.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 + u) (1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} (1 + u) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.13.2

Réécrivez l’expression.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{(t^{2}) (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.14

Annulez le facteur commun de $1 - u + u^{2}$ .

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Étape 1.4.14.1

Annulez le facteur commun.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{(1 - u + u^{2}) (7 + t^{4})}{t^{2} (1 - u + u^{2})}$

Étape 1.4.14.2

Réécrivez l’expression.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) \frac{d u}{d t} = \frac{7 + t^{4}}{t^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int u (1 + u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (u \cdot 1 + u \cdot u) (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot 1 (1 - u + u^{2}) + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot 1 (1 - u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u + u^{2}) d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u (1 - u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot 1 \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.7

Remettez dans l’ordre $u$ et $1$ .

$\int 1 \cdot u \cdot 1 + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.8

Déplacez $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + u \cdot 1 (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.9

Remettez dans l’ordre $u$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot u (- u) + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.10

Déplacez $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot 1 u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.11

Remettez dans l’ordre $u$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot u \cdot 1 + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.12

Déplacez $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + u \cdot 1 u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.13

Remettez dans l’ordre $u$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot u (- u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.14

Déplacez $u$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u + u \cdot - 1 u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.15

Remettez dans l’ordre $u$ et $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 \cdot u \cdot u^{2} + 1 \cdot u \cdot u - 1 \cdot u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.16

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.17

Multipliez $u$ par $1$ .

$\int u + 1 \cdot - 1 u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.18

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int u - u \cdot u + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.19

Factorisez le signe négatif.

$\int u - (u \cdot u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.20

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u - (u^{1} u) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.21

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u - (u^{1} u^{1}) + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u - u^{1 + 1} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.23

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u - u^{2} + 1 u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.24

Multipliez $u$ par $1$ .

$\int u - u^{2} + u \cdot u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.25

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{1} u^{2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u - u^{2} + u^{1 + 2} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.27

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + 1 u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.28

Multipliez $u$ par $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u \cdot u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.29

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.30

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1} u^{1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.31

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{1 + 1} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.32

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - 1 u \cdot u \cdot u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.33

Factorisez le signe négatif.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u \cdot u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.34

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.35

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{1} u^{1}) u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.36

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{1 + 1} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.37

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2} u + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.38

Factorisez le signe négatif.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.39

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - (u^{2} u^{1}) + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.40

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{2 + 1} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.41

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u \cdot u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.42

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u \cdot u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.43

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1} u^{1} u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.44

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{1 + 1} u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.45

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2} u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.46

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{2 + 2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.47

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int u - u^{2} + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.48

Remettez dans l’ordre $u$ et $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u + u^{3} + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.49

Déplacez $u$ .

$\int - u^{2} + u^{3} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.50

Remettez dans l’ordre $- u^{2}$ et $u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{2} - u^{3} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.51

Remettez dans l’ordre $u^{2}$ et $- u^{3}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{2} + u^{4} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.52

Déplacez $u^{2}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u - u^{3} + u^{4} + u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.53

Remettez dans l’ordre $- u^{3}$ et $u^{4}$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u + u^{4} - u^{3} + u^{2} d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.54

Déplacez $u$ .

$\int u^{3} - u^{2} + u^{4} - u^{3} + u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.55

Déplacez $- u^{2}$ .

$\int u^{3} + u^{4} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.56

Remettez dans l’ordre $u^{3}$ et $u^{4}$ .

$\int u^{4} + u^{3} - u^{3} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.57

Soustrayez $u^{3}$ de $u^{3}$ .

$\int u^{4} + 0 + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.58

Additionnez $u^{4}$ et $0$ .

$\int u^{4} + u^{2} - u^{2} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.59

Soustrayez $u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\int u^{4} + 0 + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.1.60

Additionnez $u^{4}$ et $0$ .

$\int u^{4} + u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{4} d u + \int u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \int u d u = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C_{1} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{2} = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int \frac{7 + t^{4}}{t^{2}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $t^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (7 + t^{4}) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (7 + t^{4}) t^{2 \cdot - 1} d t$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int (7 + t^{4}) t^{- 2} d t$

Étape 2.3.2

Multipliez $(7 + t^{4}) t^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} + t^{4} t^{- 2} d t$

Étape 2.3.3

Multipliez $t^{4}$ par $t^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} + t^{4 - 2} d t$

Étape 2.3.3.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} + t^{2} d t$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \int 7 t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Étape 2.3.5

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 \int t^{- 2} d t + \int t^{2} d t$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 2}$ par rapport à $t$ est $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 (- t^{- 1} + C_{4}) + \int t^{2} d t$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 (- t^{- 1} + C_{4}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{5}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Simplifiez

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = 7 (- \frac{1}{t}) + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

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Étape 2.3.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - 7 \frac{1}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Étape 2.3.8.2.2

Associez $- 7$ et $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{- 7}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Étape 2.3.8.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = - \frac{7}{t} + \frac{1}{3} t^{3} + C_{6}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} + C_{3} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{7}{t} + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + \frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{3} t^{3} - \frac{7}{t} + K$