Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x y + x^{2}$

Étape 1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - x y = x^{2}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - x$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - x d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- x$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int x d x}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Étape 2.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Laissez $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Alors $d u_{1} = - x d x$ , donc $- \frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 7.1.1

Laissez $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1.1

Différenciez $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Étape 7.1.1.2

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x)$

Étape 7.1.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x$

Étape 7.1.1.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x$

Étape 7.1.1.4.3

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2}$

Étape 7.1.1.4.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 7.1.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2}$

Étape 7.1.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Étape 7.1.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{1}$

Étape 7.1.1.4.4.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$- x$

Étape 7.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int - \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - \int \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Étape 7.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = e^{u_{1}}$ et $d v = \sqrt{- 2 u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 7.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.4

Associez ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.5

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.6

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 7.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.9

Associez ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.4.10

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 7.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 7.6

Simplifiez

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 7.6.2

Multipliez $\int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ par $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 7.7

Comme $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 7.8

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Étape 7.9

Simplifiez

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Étape 7.9.1

Réécrivez $- (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ comme $- (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 7.9.2

Simplifiez

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Étape 7.9.2.1

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}}}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 7.9.2.2

Associez ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 7.9.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Étape 7.9.2.4

Associez $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Étape 7.9.2.5

Additionnez $- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ et $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - 0 + C$

Étape 7.9.2.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Étape 7.9.2.7

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ par $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ par $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$