Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y - 8 x y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez $8 x y$ à partir de $8 x^{3} y - 8 x y$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $8 x y$ à partir de $8 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) - 8 x y$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $8 x y$ à partir de $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $8 x y$ à partir de $8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1^{2})$

Étape 1.1.3

Factorisez.

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Étape 1.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y ((x + 1) (x - 1))$

Étape 1.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x + 1) (x - 1)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 x y (x + 1) (x - 1))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Étape 1.3.2

Associez $8$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x (x + 1)) (x - 1))$

Étape 1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1))$

Étape 1.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x) (x - 1))$

Étape 1.3.7

Développez $(x^{2} + x) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} (x - 1) + x (x - 1))$

Étape 1.3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1))$

Étape 1.3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Étape 1.3.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.8.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.8.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.3.8.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Étape 1.3.8.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Étape 1.3.8.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Étape 1.3.8.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Étape 1.3.8.1.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Étape 1.3.8.1.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1)$

Étape 1.3.8.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x)$

Étape 1.3.8.1.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x)$

Étape 1.3.8.2

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + 0 - x)$

Étape 1.3.8.3

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x)$

Étape 1.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} + 8 (- x)$

Étape 1.3.10

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 8 x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{3} - 8 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Étape 2.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $8$ et $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Associez $- 8$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 2.3.6.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ comme $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$