Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

Étape 1.2

Comme $e^{x^{3}}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ par rapport à $y$ est $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} y - x^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Étape 1.4

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2} y$ par rapport à $y$ est $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Étape 1.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Étape 1.7

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

Étape 1.8

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Étape 1.9

Simplifiez

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Étape 1.9.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Étape 1.9.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = e^{x^{3}}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Étape 2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x^{2} e^{x^{3}}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 x^{2} e^{x^{3}}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = e^{x^{3}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x^{3}} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{x^{3}} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 8.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 8.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 8.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 8.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 8.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

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Étape 9.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 9.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Étape 9.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Étape 9.1.1.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 9.1.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Étape 9.1.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

Étape 9.1.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

Étape 9.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

Étape 9.1.2.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

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Étape 9.1.2.2.1

Soustrayez $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ de $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

Étape 9.1.2.2.2

Additionnez $- x^{2} e^{x^{3}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- x^{2} e^{x^{3}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Étape 10.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Étape 10.4

Laissez $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Alors $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.4.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 10.4.1.1

Différenciez $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Étape 10.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 10.4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 10.4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 10.4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 10.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Étape 10.4.1.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Étape 10.4.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Étape 10.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 10.5

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Étape 10.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.6.1

Réécrivez $- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ comme $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

Étape 10.6.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x^{3}}$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ .

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Étape 12.1

Associez $e^{x^{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Étape 12.2

Soustrayez $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ de $e^{x^{3}} y$ .

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Étape 12.2.1

Remettez dans l’ordre $e^{x^{3}}$ et $y$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Étape 12.2.2

Pour écrire $y e^{x^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Étape 12.2.3

Associez $y e^{x^{3}}$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Étape 12.3.2

Factorisez $e^{x^{3}}$ à partir de $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ .

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Étape 12.3.2.1

Factorisez $e^{x^{3}}$ à partir de $3 y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Étape 12.3.2.2

Factorisez $e^{x^{3}}$ à partir de $- e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

Étape 12.3.2.3

Factorisez $e^{x^{3}}$ à partir de $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$