Calcul infinitésimal Exemples

$y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y (x + y + 1)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x + y + 1)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = x + y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x + y + 1] + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (1 + 0) + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot 1 + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (x + y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + (x + y + 1) \cdot 1$

Étape 1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.3.8.1

Multipliez $x + y + 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y + x + y + 1$

Étape 1.3.8.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x (x + 3 y + 2)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 3 y + 2)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 3 y + 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 3 y + 2] + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3 y + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 3 y + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 3 y + 2) \cdot 1$

Étape 2.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.8.1

Multipliez $x + 3 y + 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 3 y + 2$

Étape 2.3.8.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y + 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x + 2 y + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 3 y + 2$ .

$x + 2 y + 1 = 2 x + 3 y + 2$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x + 2 y + 1 = 2 x + 3 y + 2$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 3 y + 2$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x + 2 y + 1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - (x + 2 y + 1)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y (x + y + 1)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y (x + y + 1)$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - (x + 2 y + 1)}{y (x + y + 1)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - (2 y) - 1 \cdot 1}{y (x + y + 1)}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - 2 y - 1 \cdot 1}{y (x + y + 1)}$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x + 3 y + 2 - x - 2 y - 1}{y (x + y + 1)}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$\frac{x + 3 y + 2 - 2 y - 1}{y (x + y + 1)}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 y$ de $3 y$ .

$\frac{x + y + 2 - 1}{y (x + y + 1)}$

Étape 4.3.2.5

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{x + y + 1}{y (x + y + 1)}$

Étape 4.3.3

Remplacez $M$ par $y (x + y + 1)$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + y + 1}{y (x + y + 1)}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Étape 5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.2.1

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Étape 5.2.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | y | + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$ par le facteur d’intégration $y$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y (x + y + 1)$ par $y$ .

$y (x + y + 1) y d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $y$ .

$y \cdot y (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} (x + y + 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(y^{2} x + y^{2} y + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 6.4.1.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(y^{2} x + y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Étape 6.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(y^{2} x + y^{2 + 1} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Étape 6.4.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2} \cdot 1) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Étape 6.4.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + x (x + 3 y + 2) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $x (x + 3 y + 2)$ par $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + x (x + 3 y + 2) y d y = 0$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x \cdot x + x (3 y) + x \cdot 2) y d y = 0$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + x (3 y) + x \cdot 2) y d y = 0$

Étape 6.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y + x \cdot 2) y d y = 0$

Étape 6.7.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y + 2 \cdot x) y d y = 0$

Étape 6.8

Appliquez la propriété distributive.

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x y \cdot y + 2 x y) d y = 0$

Étape 6.9

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.9.1

Déplacez $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x (y \cdot y) + 2 x y) d y = 0$

Étape 6.9.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(y^{2} x + y^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} x + y^{3} + y^{2} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = y^{2} x + y^{3} + y^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int y^{2} x d x + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Étape 8.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Étape 8.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x + \int y^{2} d x$

Étape 8.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C + \int y^{2} d x$

Étape 8.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C + \int y^{2} d x$

Étape 8.6

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C + y^{2} x + C$

Étape 8.7

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Étape 8.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.3.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.3.3

Comme $\frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.3.5

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.3.6

Associez $\frac{2 x^{2}}{2}$ et $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.3.7.2

Divisez $x^{2} y$ par $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

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Étape 11.4.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{3} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} y + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{2} y + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.4.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.5

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Étape 11.5.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{2} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.5.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 11.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 3 y^{2} x + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y$

Étape 12.1.2

Soustrayez $3 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x$

Étape 12.1.3

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Étape 12.1.4

Associez les termes opposés dans $x^{2} y + 3 x y^{2} + 2 x y - x^{2} y - 3 y^{2} x - 2 x y$ .

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Étape 12.1.4.1

Soustrayez $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 2 x y + 0 - 3 y^{2} x - 2 x y$

Étape 12.1.4.2

Additionnez $3 x y^{2} + 2 x y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 2 x y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Étape 12.1.4.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 x y^{2}$ et $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x + 2 x y - 3 y^{2} x - 2 x y$

Étape 12.1.4.4

Soustrayez $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + 0 - 2 x y$

Étape 12.1.4.5

Additionnez $2 x y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Étape 12.1.4.6

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (y) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$

Étape 15.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + y^{2} x + C$