Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}{x}$

Étape 1.1.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Complétez le carré.

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1.1

Développez $(1 + y) (1 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - y) + y (1 - y)$

Étape 2.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y)$

Étape 2.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)$

Étape 2.2.1.1.2.1.2

Multipliez $- y$ par $1$ .

$1 - y + y \cdot 1 + y (- y)$

Étape 2.2.1.1.2.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$1 - y + y + y (- y)$

Étape 2.2.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - y + y - y \cdot y$

Étape 2.2.1.1.2.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.2.1.5.1

Déplacez $y$ .

$1 - y + y - (y \cdot y)$

Étape 2.2.1.1.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$1 - y + y - y^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$1 + 0 - y^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - y^{2}$

Étape 2.2.1.1.3

Remettez dans l’ordre $1$ et $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 1$

Étape 2.2.1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Étape 2.2.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.2.1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.2.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 2.2.1.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.2.1.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Étape 2.2.1.4.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot 0$ comme $- 0$ .

$d = - 0$

Étape 2.2.1.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$d = 0$

Étape 2.2.1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.2.1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.2.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.2.1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Étape 2.2.1.5.2.1.3

Divisez $0$ par $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Étape 2.2.1.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = 1 + 0$

Étape 2.2.1.5.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$e = 1$

Étape 2.2.1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 1}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = y + 0$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = y + 0$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $y + 0$ .

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

Étape 2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 0$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $0$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3.2

Remettez dans l’ordre $- u^{2}$ et $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 0$ .

$\arcsin (y + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Additionnez $y$ et $0$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\arcsin (y) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$y = \sin (\ln (| x |) + C)$