Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 y$

Étape 1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 2$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 2 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{2 x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{2 x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x^{2}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2}$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x^{2} e^{2 x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x^{2} e^{2 x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x^{2} e^{2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Étape 7.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{2} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

Étape 7.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

Étape 7.4.3

Multipliez $\int e^{2 x} (x) d x$ par $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

Étape 7.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.6

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Étape 7.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.6.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Étape 7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Étape 7.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Étape 7.8

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.8.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.8.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Étape 7.9

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 7.10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Étape 7.11

Simplifiez

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Étape 7.11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Étape 7.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 7.12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Étape 7.13

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Étape 7.13.1

Réécrivez $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ comme $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2

Simplifiez

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Étape 7.13.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.4

Associez $\frac{x}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Étape 7.13.2.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Étape 7.13.2.6

Pour écrire $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 7.13.2.7

Associez $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 7.13.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 7.13.2.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Étape 7.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Étape 7.15

Simplifiez

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Étape 7.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Étape 7.15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Étape 7.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Étape 7.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Étape 7.15.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.15.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{2 x}}{4}$ dans le numérateur.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Étape 7.15.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Étape 7.15.3.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Étape 7.15.3.4

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Étape 7.15.3.5

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.15.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.4.2

Multipliez $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

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Étape 7.15.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.4.2.2

Multipliez $\frac{e^{2 x}}{2}$ par $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.5

Pour écrire $- x e^{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.6

Associez $- x e^{2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.15.8.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

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Étape 7.15.8.1.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.8.1.2

Multipliez par $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.8.1.3

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.10

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.12

Réécrivez $- (2 x - 1)$ comme $- 1 (2 x - 1)$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

Étape 7.15.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

Étape 7.16

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

Étape 8.1.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

Étape 8.1.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.4

Réécrivez $- 1 e^{2 x}$ comme $- e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Étape 8.1.1.7

Multipliez $- \frac{1}{2} (- e^{2 x})$ .

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Étape 8.1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + 1 (\frac{1}{2}) e^{2 x}) + C$

Étape 8.1.1.7.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{1}{2} e^{2 x}) + C$

Étape 8.1.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.8

Réécrivez $- 1 (e^{2 x} x)$ comme $- (e^{2 x} x)$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.9

Associez $- e^{2 x} x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 8.1.1.9.1

Déplacez $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.9.2

Pour écrire $- x e^{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.9.3

Associez $- x e^{2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1.10.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

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Étape 8.1.1.10.1.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}) + C$

Étape 8.1.1.10.1.2

Multipliez par $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}) + C$

Étape 8.1.1.10.1.3

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}) + C$

Étape 8.1.1.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Étape 8.1.2

Pour écrire $x^{2} e^{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Étape 8.1.3

Associez $x^{2} e^{2 x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Étape 8.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Étape 8.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.5.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

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Étape 8.1.5.1.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $x^{2} e^{2 x} \cdot 2$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Étape 8.1.5.1.2

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2 - 2 x + 1)}{2} + C$

Étape 8.1.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2} + C$

Étape 8.1.6

Associez.

$e^{2 x} y = \frac{1 (e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1))}{2 \cdot 2} + C$

Étape 8.1.7

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 8.1.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ par $e^{2 x}$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ par $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 8.2.3.3.1

Associez $C$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 8.2.3.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.4.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.4.2.3

Multipliez $e^{2 x}$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.4.3

Déplacez $4$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ .

$y = \frac{\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Étape 8.2.3.7

Multipliez $\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}$ par $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$