Calcul infinitésimal Exemples

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$ par $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez $x + 2$ par $x + 1$ .

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Étape 2.2.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$2$

Étape 2.2.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

Étape 2.2.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

Étape 2.2.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

Étape 2.2.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

Étape 2.2.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Étape 2.2.4

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.4.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.4.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.2.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x + \ln (x + 1)}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{x + 2}{x + 1}$ et $y$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.2.2

Associez $e^{x + \ln (x + 1)}$ et $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.3

Pour écrire $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez $e^{x + \ln (x + 1)}$ à partir de $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $e^{x + \ln (x + 1)}$ à partir de $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $e^{x + \ln (x + 1)}$ à partir de $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $e^{x + \ln (x + 1)}$ à partir de $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Étape 3.6

Multipliez $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ .

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Étape 3.6.1

Associez $e^{x + \ln (x + 1)}$ et $\frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $e^{x + \ln (x + 1)}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.2.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Étape 3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Étape 3.6.2.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Étape 3.6.2.4

Additionnez $0$ et $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Réécrivez.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

Étape 3.7.2

Multipliez $e^{x + \ln (x + 1)}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.2.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Étape 3.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Étape 3.7.2.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Étape 3.7.2.4

Additionnez $0$ et $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Étape 3.7.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2 x}{x + 1}$

Étape 3.7.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

Étape 3.8.2

Divisez $2 x$ par $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

Étape 3.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2 x$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 x d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 x d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 \int x d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Étape 7.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 1 x^{2} + C$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ par $e^{x + \ln (x + 1)}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ par $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$