Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 1 + e^{2 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (1 + e^{2 x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 1 + e^{2 x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 1 + e^{2 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int d x + \int e^{2 x} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int e^{2 x} d x$

Étape 2.3.3

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.3.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} (e^{u} + C_{3})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$y + C_{1} = x + \frac{1}{2} e^{u} + C_{4}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y + C_{1} = x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{4}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + x + K$