Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d p}{d t} + 20 p - 240 = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d p}{d t}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Soustrayez $20 p$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d p}{d t} - 240 = - 20 p$

Étape 1.1.2

Ajoutez $240$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d p}{d t} = - 20 p + 240$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{- 20 p + 240}$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{- 20 p + 240} (- 20 p + 240)$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Factorisez $20$ à partir de $- 20 p + 240$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Factorisez $20$ à partir de $- 20 p$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p) + 240} (- 20 p + 240)$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $20$ à partir de $240$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p) + 20 (12)} (- 20 p + 240)$

Étape 1.3.1.3

Factorisez $20$ à partir de $20 (- p) + 20 (12)$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p + 12)} (- 20 p + 240)$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{20 (- p + 12)}$ par $- 20 p + 240$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- 20 p + 240}{20 (- p + 12)}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun à $- 20 p + 240$ et $20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Factorisez $20$ à partir de $- 20 p$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p) + 240}{20 (- p + 12)}$

Étape 1.3.3.2

Factorisez $20$ à partir de $240$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p) + 20 \cdot 12}{20 (- p + 12)}$

Étape 1.3.3.3

Factorisez $20$ à partir de $20 (- p) + 20 (12)$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p + 12)}{20 (- p + 12)}$

Étape 1.3.3.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p + 12)}{20 (- p + 12)}$

Étape 1.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- p + 12}{- p + 12}$

Étape 1.3.4

Annulez le facteur commun de $- p + 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- p + 12}{- p + 12}$

Étape 1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{- 20 p + 240} d p = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{- 20 p + 240} d p = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Laissez $u = - 20 p + 240$ . Alors $d u = - 20 d p$ , donc $- \frac{1}{20} d u = d p$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Laissez $u = - 20 p + 240$ . Déterminez $\frac{d u}{d p}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $- 20 p + 240$ .

$\frac{d}{d p} [- 20 p + 240]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 20 p + 240$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [- 20 p] + \frac{d}{d p} [240]$ .

$\frac{d}{d p} [- 20 p] + \frac{d}{d p} [240]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d p} [- 20 p]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- 20 p$ par rapport à $p$ est $- 20 \frac{d}{d p} [p]$ .

$- 20 \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [240]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d p} [240]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$- 20 + \frac{d}{d p} [240]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $240$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $240$ par rapport à $p$ est $0$ .

$- 20 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $- 20$ et $0$ .

$- 20$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 20} d u = \int d t$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{20}) d u = \int d t$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{20}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 20} d u = \int d t$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $20$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{20 u} d u = \int d t$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{20 u} d u = \int d t$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{20}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{20}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{20} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{20} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{20} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 20 p + 240$ .

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) = t + C$

Étape 3

Résolvez $p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 20$ .

$- 20 (- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |)) = - 20 (t + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 20 (- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\ln (| - 20 p + 240 |)$ et $\frac{1}{20}$ .

$- 20 (- \frac{\ln (| - 20 p + 240 |)}{20}) = - 20 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| - 20 p + 240 |)}{20}$ dans le numérateur.

$- 20 \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Factorisez $20$ à partir de $- 20$ .

$20 (- 1) \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$20 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Étape 3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| - 20 p + 240 |)$ par $1$ .

$\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 t - 20 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $p$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| - 20 p + 240 |)} = e^{- 20 t - 20 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 t - 20 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 20 t - 20 C} = | - 20 p + 240 |$

Étape 3.5

Résolvez $p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| - 20 p + 240 | = e^{- 20 t - 20 C}$ .

$| - 20 p + 240 | = e^{- 20 t - 20 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$- 20 p + 240 = \pm e^{- 20 t - 20 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $240$ des deux côtés de l’équation.

$- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$ par $- 20$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$ par $- 20$ .

$\frac{- 20 p}{- 20} = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 20 p}{- 20} = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $p$ par $1$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + \frac{- 240}{- 20}$

Étape 3.5.4.3.1.2

Divisez $- 240$ par $- 20$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + 12$

Étape 3.5.4.3.2

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + 12 \cdot \frac{20}{20}$

Étape 3.5.4.3.3

Associez $12$ et $\frac{20}{20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + \frac{12 \cdot 20}{20}$

Étape 3.5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C} + 12 \cdot 20}{20}$

Étape 3.5.4.3.5

Multipliez $12$ par $20$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C} + 240}{20}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$p = \frac{\pm e^{- 20 t + C} + 240}{20}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{- 20 t + C}$ comme $e^{- 20 t} e^{C}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t} e^{C} + 240}{20}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- 20 t}$ et $e^{C}$ .

$p = \frac{\pm e^{C} e^{- 20 t} + 240}{20}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$p = \frac{C e^{- 20 t} + 240}{20}$