Calcul infinitésimal Exemples

$3 x (x y - 2) d x + (x^{3} + 2 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x (x y - 2)]$

Étape 1.2

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x (x y - 2)$ par rapport à $y$ est $3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [x y - 2]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

Étape 1.4

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2])$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2])$

Étape 1.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + \frac{d}{d y} [- 2])$

Étape 1.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x (x + 0)$

Étape 1.8

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot x$

Étape 1.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x)$

Étape 1.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{1} x^{1})$

Étape 1.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{1 + 1}$

Étape 1.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{3} + 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

Étape 2.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x (x y - 2) d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 3 x (x y - 2)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 \int x (x y - 2) d x$

Étape 5.2

Développez $x (x y - 2)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = 3 \int x (x y) + x \cdot - 2 d x$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y + x \cdot - 2 d x$

Étape 5.2.3

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 2$ .

$f (x, y) = 3 \int x \cdot x y - 2 x d x$

Étape 5.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x y - 2 x d x$

Étape 5.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{1} x^{1} y - 2 x d x$

Étape 5.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = 3 \int x^{1 + 1} y - 2 x d x$

Étape 5.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x, y) = 3 \int x^{2} y - 2 x d x$

Étape 5.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = 3 (\int x^{2} y d x + \int - 2 x d x)$

Étape 5.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , placez $y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 (y \int x^{2} d x + \int - 2 x d x)$

Étape 5.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x)$

Étape 5.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x)$

Étape 5.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Étape 5.8

Simplifiez

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + C$

Étape 5.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 2 y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.2.1.2

Associez $\frac{y}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2})$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d y} [\frac{y x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.3.3

Comme $\frac{x^{3}}{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y x^{3}}{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.3.5

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.3.6

Multipliez $\frac{x^{3}}{3}$ par $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.3.7

Additionnez $\frac{x^{3}}{3}$ et $0$ .

$3 \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.3.8

Associez $3$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.3.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{3}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.3.9.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 2 y$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} = x^{3} + 2 y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 2 y - x^{3}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{3} + 2 y - x^{3}$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2 y$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Étape 10.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 \int y d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Étape 10.5.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{y}{3} x^{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{y}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{y x^{3}}{3} - x^{2}) + y^{2} + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = 3 \frac{y x^{3}}{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Étape 12.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 (- x^{2}) + y^{2} + C$

Étape 12.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 3 x^{2} + y^{2} + C$