Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x + 1$ , $y (2) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (x + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x + 1 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x + 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $2$ et $y$ par $3$ dans $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ .

$3 = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 + 2 + K = 3$

Étape 4.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 + K = 3$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$K = 3 - 4$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$K = - 1$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 1$ dans $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + x - 1$