Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + x}$ , $y (0) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{1}{2 + x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 2 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 2 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + x$ .

$y + C_{1} = \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $3$ dans $y = \ln (| 2 + x |) + C$ .

$3 = \ln (| 2 + 0 |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$ .

$\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$

Étape 4.2

Simplifiez $\ln (| 2 + 0 |) + C$ .

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Étape 4.2.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\ln (| 2 |) + C = 3$

Étape 4.2.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\ln (2) + C = 3$

Étape 4.3

Soustrayez $\ln (2)$ des deux côtés de l’équation.

$C = 3 - \ln (2)$

Étape 5

Remplacez $C$ par $3 - \ln (2)$ dans $y = \ln (| 2 + x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $3 - \ln (2)$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + 3 - \ln (2)$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| 2 + x |}{2}) + 3$