Calcul infinitésimal Exemples

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$y d y = (x^{2} - x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int x^{2} - x d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - x d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $2$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $- x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $- x^{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3} - x^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.3.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.3.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x) + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 1 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3)}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.4

Pour écrire $2 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.4.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.5.1

Associez $2 K$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 3) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3 + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3 + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.6.4.1

Déplacez $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.6.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.6.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}{3}}$

Étape 3.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.8

Multipliez $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.9.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.9.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.9.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.4.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.4.9.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.4.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.4.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.4.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$

Étape 3.4.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 K)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 3 x^{2} + K)}}{3}$