Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ par $2 x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ par $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Étape 1.1.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Étape 1.1.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{2 x}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation différentielle comme $f (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ dans $\frac{x}{2 y}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ à partir de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{2 x}$

Étape 1.2.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{x}{y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{2 x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{2 x}$

Étape 1.3

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y}{2 x}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + \frac{1}{2} V$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + \frac{1}{2} V$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + \frac{1}{2} V$

Étape 6.1.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + \frac{1}{2} V$

Étape 6.1.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.3.3.3.1

Associez $- V$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Factorisez $V$ à partir de $V - V \cdot 2$ .

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Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factorisez $V$ à partir de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factorisez $V$ à partir de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.4.1

Pour écrire $- \frac{V}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.2

Multipliez $\frac{V}{2}$ par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.4.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4.2

Réécrivez $V \cdot V$ comme $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.6

Multipliez $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2 V$ .

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Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $2 V$ à partir de $2 V x$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $(1 + V) (1 - V)$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Étape 6.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Laissez $u = (1 + V) (1 - V)$ . Alors $d u = - 2 V d V$ , donc $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Laissez $u = (1 + V) (1 - V)$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Différenciez $(1 + V) (1 - V)$ .

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

Étape 6.2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ est $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ où $f (V) = 1 + V$ et $g (V) = 1 - V$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 6.2.2.2.1.3

Différenciez.

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Étape 6.2.2.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - V$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 6.2.2.2.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 6.2.2.2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 6.2.2.2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $- V$ par rapport à $V$ est $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 6.2.2.2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 6.2.2.2.1.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 6.2.2.2.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + V$ .

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 6.2.2.2.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 (1 + V)$ comme $- (1 + V)$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 6.2.2.2.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + V$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

Étape 6.2.2.2.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

Étape 6.2.2.2.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

Étape 6.2.2.2.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

Étape 6.2.2.2.1.3.11

Multipliez $1 - V$ par $1$ .

$- (1 + V) + 1 - V$

Étape 6.2.2.2.1.4

Simplifiez

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Étape 6.2.2.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

Étape 6.2.2.2.1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - V + 1 - V$

Étape 6.2.2.2.1.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- V + 0 - V$

Étape 6.2.2.2.1.4.2.3

Additionnez $- V$ et $0$ .

$- V - V$

Étape 6.2.2.2.1.4.2.4

Soustrayez $V$ de $- V$ .

$- 2 V$

Étape 6.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Simplifiez

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Étape 6.2.2.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.2.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.9

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(1 + V) (1 - V)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1

Développez $(1 + | x |) (1 - | x |)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2.2.1.2

Multipliez $- | x |$ par $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2.2.1.3

Multipliez $| x |$ par $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2.2.1.5

Multipliez $| x |$ par $| x |$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.2.1.5.1

Déplacez $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2.2.1.5.2

Multipliez $| x |$ par $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2.2.2

Additionnez $- | x |$ et $| x |$ .

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.2.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 6.3.3

Ajoutez $\ln (| x |)$ aux deux côtés de l’équation.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

Étape 6.3.4

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 6.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 6.3.4.2.2

Divisez $\ln (| 1 - V^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 6.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 6.3.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 6.3.4.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Étape 6.3.4.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (| x |)$ comme $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

Étape 6.3.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

Étape 6.3.6

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

Étape 6.3.7

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

Étape 6.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

Étape 6.3.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

Étape 6.3.10

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

Étape 6.3.11

Réécrivez $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

Étape 6.3.12

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.12.1

Réécrivez l’équation comme $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ .

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

Étape 6.3.12.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

Étape 6.3.12.3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

Étape 6.3.12.4

Divisez chaque terme dans $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ par $- x$ et simplifiez.

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Étape 6.3.12.4.1

Divisez chaque terme dans $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ par $- x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 6.3.12.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.12.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 6.3.12.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.12.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 6.3.12.4.2.2.2

Divisez $V^{2}$ par $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 6.3.12.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.12.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.12.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 6.3.12.4.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 6.3.12.4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.3.12.4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 6.3.12.4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Étape 6.3.12.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

Étape 6.3.12.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ .

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Étape 6.3.12.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Étape 6.3.12.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

Étape 6.3.12.6.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

Étape 6.3.12.6.4

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 6.3.12.6.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.12.6.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 6.3.12.6.5.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Étape 6.3.12.6.5.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Étape 6.3.12.6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.12.6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 6.3.12.6.5.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 6.3.12.6.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.12.6.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.12.6.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.12.6.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.12.6.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.12.6.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Étape 6.3.12.6.5.6.5

Simplifiez

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Étape 6.3.12.6.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

Étape 6.3.12.6.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$