Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d z}{d t} - \frac{1}{2 t} z = 0$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = - \frac{1}{2 t}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{1}{2 t} d t}$

Étape 1.2

Intégrez $- \frac{1}{2 t}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{2 t} d t}$

Étape 1.2.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t)}$

Étape 1.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| t |) + C)}$

Étape 1.2.4

Simplifiez

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| t |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (t)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (t^{- \frac{1}{2}})}$

Étape 1.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$t^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d z}{d t} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ et $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2 t}$ et $z$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.2.4

Multipliez $- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t}$ .

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $\frac{z}{2 t}$ par $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $t$ par $t^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.4.2.1

Déplacez $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t$ .

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Étape 2.2.4.2.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.2.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.2.4.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.2.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.2.4.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ par $0$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] = 0$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] d t = \int 0 d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = \int 0 d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = 0 + C$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = C$

Étape 7

Résolvez $z$ .

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ et $z$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} = C$

Étape 7.2

Multipliez les deux côtés par $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun de $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Étape 7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$z = C t^{\frac{1}{2}}$