Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = (1 - x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int d x + \int - x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 x + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{3}}{3}$ dans le numérateur.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = - x^{3} + 3 x + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 3 x + K}$