Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

Étape 2

Laissez $v = y^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{2}$ par $v$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

Étape 3

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $y^{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Étape 4

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

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Étape 4.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

Étape 5

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $v$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Étape 5.3.2

Divisez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

Étape 5.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Étape 5.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

Étape 5.4.2.5

Divisez $- 2 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

Étape 5.5

Factorisez $v$ à partir de $\frac{- v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

Étape 5.6

Remettez dans l’ordre $v$ et $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

Étape 6

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Étape 6.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Étape 6.2

Intégrez $\frac{- 1}{x}$ .

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Étape 6.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.2.4

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 6.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 6.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 6.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 7

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 7.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Étape 7.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Étape 7.2.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Étape 7.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $\frac{v}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Étape 7.2.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Étape 7.2.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Étape 7.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Étape 7.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Étape 7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 7.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Étape 7.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Étape 7.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

Étape 8

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

Étape 9

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

Étape 10

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

Étape 11

Intégrez le côté droit.

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Étape 11.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

Étape 11.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 11.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 11.3.2

Simplifiez

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Étape 11.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Étape 11.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Étape 11.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Étape 11.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Étape 11.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

Étape 12

Résolvez $v$ .

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $v$ .

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

Étape 12.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Étape 12.3

Simplifiez

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Étape 12.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 12.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Étape 12.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$v = (- x^{2} + C) x$

Étape 12.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.3.2.1

Simplifiez $(- x^{2} + C) x$ .

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Étape 12.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = - x^{2} x + C x$

Étape 12.3.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.3.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

Étape 12.3.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 12.3.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

Étape 12.3.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v = - x^{1 + 2} + C x$

Étape 12.3.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$v = - x^{3} + C x$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $y^{2}$ .

$y^{2} = - x^{3} + C x$

Étape 14

Résolvez $y$ .

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Étape 14.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

Étape 14.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3} + C x$ .

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Étape 14.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

Étape 14.2.2

Factorisez $x$ à partir de $C x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

Étape 14.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{2}) + x C$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Étape 14.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 14.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Étape 14.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Étape 14.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$