Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x e^{- y} + 10 e^{- y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $x e^{- y} + 10 e^{- y}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $x e^{- y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} x + 10 e^{- y}$

Étape 1.1.2

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $10 e^{- y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} x + e^{- y} \cdot 10$

Étape 1.1.3

Factorisez $e^{- y}$ à partir de $e^{- y} x + e^{- y} \cdot 10$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (x + 10)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (x + 10))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (x + 10))$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = x + 10$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (x + 10) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int x + 10 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int x + 10 d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int x + 10 d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int x + 10 d x$

Étape 2.2.1.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int x + 10 d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\int e^{y} d y = \int x + 10 d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int x + 10 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{y} + C_{1} = \int x d x + \int 10 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int 10 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 10 x + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{2}}{2} + 10 x + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{2} + 10 x + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{2} + 10 x + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{2}}{2} + 10 x + K)$