Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 13 \sin (2 t)$ , $y (0) = 6$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = 3$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 3 d t}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{3 t + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 t}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{3 t}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} (13 \sin (2 t))$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} (13 \sin (2 t))$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 13 e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{3 t} y = \int 13 e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $13$ est constant par rapport à $t$ , placez $13$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 t} y = 13 \int e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $e^{3 t}$ et $\sin (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 \int \sin (2 t) e^{3 t} d t$

Étape 6.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (2 t)$ et $d v = e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} (2 \cos (2 t)) d t)$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{3} \cdot 2$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{3} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Étape 6.5

Associez les fractions.

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Étape 6.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) \frac{e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Étape 6.5.2

Associez $\sin (2 t)$ et $\frac{e^{3 t}}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Étape 6.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Étape 6.5.4

Remettez dans l’ordre $e^{3 t}$ et $\cos (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} \int \cos (2 t) e^{3 t} d t))$

Étape 6.6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (2 t)$ et $d v = e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} (- 2 \sin (2 t)) d t)))$

Étape 6.7

Comme $\frac{1}{3} \cdot - 2$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{3} \cdot - 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Étape 6.8

Simplifiez les termes.

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Étape 6.8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) \frac{e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Étape 6.8.2

Associez $\cos (2 t)$ et $\frac{e^{3 t}}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Étape 6.8.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Étape 6.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Étape 6.8.5

Multipliez $\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{3 \cdot 3} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Étape 6.8.6

Multipliez.

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Étape 6.8.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Étape 6.8.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + 1 (\frac{2}{3}) (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))$

Étape 6.8.6.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{2}{3} (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))$

Étape 6.8.7

Multipliez $\frac{- 2}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Étape 6.8.8

Multipliez.

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Étape 6.8.8.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Étape 6.8.8.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Étape 6.9

En résolvant $\int e^{3 t} \sin (2 t) d t$ , nous trouvons que $\int e^{3 t} \sin (2 t) d t$ = $\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C)$

Étape 6.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.10.1

Simplifiez

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Étape 6.10.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cdot (\cos (2 t) e^{3 t})}{9}}{\frac{13}{9}} + C)$

Étape 6.10.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{13}{9}$ .

$e^{3 t} y = 13 ((\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{9}) \frac{9}{13} + C)$

Étape 6.10.2

Réécrivez $13 ((\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{9}) \frac{9}{13} + C)$ comme $13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t} \cdot 9}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t} \cdot 9}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 6.10.3

Simplifiez

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Étape 6.10.3.1

Déplacez $9$ à gauche de $\sin (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{9 \cdot (\sin (2 t) e^{3 t})}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 6.10.3.2

Multipliez $3$ par $13$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{9 \sin (2 t) e^{3 t}}{39} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 6.10.3.3

Annulez le facteur commun à $9$ et $39$ .

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Étape 6.10.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9 \sin (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{39} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 6.10.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.10.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $39$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{3 (13)} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 6.10.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 6.10.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 6.10.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 6.10.4

Simplifiez

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Étape 6.10.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 6.10.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3}{13} e^{3 t} \sin (2 t) - \frac{2}{13} e^{3 t} \cos (2 t)) + C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1.1

Multipliez $\frac{3}{13} (e^{3 t} \sin (2 t))$ .

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Étape 7.1.1.1.1

Associez $e^{3 t}$ et $\frac{3}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{e^{3 t} \cdot 3}{13} \sin (2 t) - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Étape 7.1.1.1.2

Associez $\frac{e^{3 t} \cdot 3}{13}$ et $\sin (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{e^{3 t} \cdot 3 \sin (2 t)}{13} - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Étape 7.1.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \cdot e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Étape 7.1.1.3

Multipliez $- \frac{2}{13} (e^{3 t} \cos (2 t))$ .

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Étape 7.1.1.3.1

Associez $e^{3 t}$ et $\frac{2}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{e^{3 t} \cdot 2}{13} \cos (2 t)) + C$

Étape 7.1.1.3.2

Associez $\cos (2 t)$ et $\frac{e^{3 t} \cdot 2}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{\cos (2 t) (e^{3 t} \cdot 2)}{13}) + C$

Étape 7.1.1.4

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{13}) + C$

Étape 7.1.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{3 t} y = 13 \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 7.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{3 t} y = 13 \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 7.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 7.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}$ dans le numérateur.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13} + C$

Étape 7.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13} + C$

Étape 7.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) e^{3 t} + C$

Étape 7.1.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$ par $e^{3 t}$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$ par $e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 t}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 t}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Divisez $3 \sin (2 t)$ par $1$ .

$y = 3 \sin (2 t) + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 7.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{3 t}$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 3 \sin (2 t) + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Divisez $- 2 \cos (2 t)$ par $1$ .

$y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$

Étape 8

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $0$ et $y$ par $6$ dans $y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$ .

$6 = 3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Étape 9

Résolvez $C$ .

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Étape 9.1

Réécrivez l’équation comme $3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$ .

$3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Simplifiez $3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$ .

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Étape 9.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 \sin (0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Étape 9.2.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 \cdot 0 - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Étape 9.2.1.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Étape 9.2.1.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 - 2 \cos (0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Étape 9.2.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Étape 9.2.1.1.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Étape 9.2.1.1.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1.1.7.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - 2 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

Étape 9.2.1.1.7.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 - 2 + \frac{C}{1} = 6$

Étape 9.2.1.1.8

Divisez $C$ par $1$ .

$0 - 2 + C = 6$

Étape 9.2.1.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2 + C = 6$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.3.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 6 + 2$

Étape 9.3.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$C = 8$

Étape 10

Remplacez $C$ par $8$ dans $y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Remplacez $C$ par $8$ .

$y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{8}{e^{3 t}}$