Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4}{t} d t - \frac{y - 3}{y} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $\frac{4}{t} d t$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y - 3}{y} d y = - \frac{4}{t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Étape 2.2.2

Divisez $y - 3$ par $y$ .

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Étape 2.2.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$0$

$y$

$3$

Étape 2.2.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

Étape 2.2.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

Étape 2.2.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y + 0$

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

Étape 2.2.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

Étape 2.2.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Étape 2.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Étape 2.2.6

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int - \frac{4}{t} d t$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Étape 2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int - \frac{4}{t} d t$

Étape 2.2.9

Simplifiez

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int - \frac{4}{t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - \int \frac{4}{t} d t$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - (4 \int \frac{1}{t} d t)$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 (\ln (| t |) + C_{4})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \ln (| t |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) = - 4 \ln (| t |) + C$