Calcul infinitésimal Exemples

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x - 3) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3

Comme $6 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y (2 x - 3)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x - 3)]$

Étape 2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y (2 x - 3)$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

Étape 2.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y$ .

$2 y = 2 y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 y = 2 y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x - 3) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = y (2 x - 3)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $2 x - 3$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x - 3$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = (2 x - 3) \int y d y$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 5.3

Réécrivez $(2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

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Étape 8.3.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.2

Comme $\frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.9

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.3.11.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Étape 10

Déterminez la primitive de $6 x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Étape 10.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 6 \int x d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Étape 10.5.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$ .

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (x, y) = (2 (x) \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = (x - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = (x + \frac{- 3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (x, y) = (x - \frac{3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.6

Associez $y^{2}$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.7

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.8

Réorganisez les facteurs de $x y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} x - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.9

Associez $y^{2} x$ et $- \frac{3 y^{2}}{2}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 12.1.9.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $x$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.9.2

Pour écrire $x y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.9.3

Associez $x y^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.10.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}$ .

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Étape 12.1.10.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.10.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.10.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.1.10.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Étape 12.2

Pour écrire $3 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 12.3

Associez $3 x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + \frac{3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3) + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Étape 12.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Étape 12.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Étape 12.5.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 \cdot y^{2} + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Étape 12.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 y^{2} + 6 x^{2}}{2} + C$