Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d p}{d t} = t^{2} p - p + t^{2} - 1$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} p - p) + t^{2} - 1$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d p}{d t} = p (t^{2} - 1) + 1 (t^{2} - 1)$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $t^{2} - 1$ .

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} - 1) (p + 1)$

Étape 1.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d p}{d t} = (t^{2} - 1^{2}) (p + 1)$

Étape 1.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = t$ et $b = 1$ .

$\frac{d p}{d t} = (t + 1) (t - 1) (p + 1)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{p + 1}$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((t + 1) (t - 1) (p + 1))$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $p + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Factorisez $p + 1$ à partir de $(t + 1) (t - 1) (p + 1)$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) ((t + 1) (t - 1)))$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{p + 1} ((p + 1) ((t + 1) (t - 1)))$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = (t + 1) (t - 1)$

Étape 1.3.2

Développez $(t + 1) (t - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t (t - 1) + 1 (t - 1)$

Étape 1.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1 + 1 (t - 1)$

Étape 1.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1 + 1 t + 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} + t \cdot - 1 + 1 t + 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $t$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - 1 \cdot t + 1 t + 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.3.1.3

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - t + 1 t + 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - t + t + 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - t + t - 1$

Étape 1.3.3.2

Additionnez $- t$ et $t$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} + 0 - 1$

Étape 1.3.3.3

Additionnez $t^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{p + 1} \frac{d p}{d t} = t^{2} - 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{p + 1} d p = (t^{2} - 1) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{p + 1} d p = \int t^{2} - 1 d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Laissez $u = p + 1$ . Puis $d u = d p$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Laissez $u = p + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d p}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $p + 1$ .

$\frac{d}{d p} [p + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $p + 1$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d p} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $1$ par rapport à $p$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int t^{2} - 1 d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int t^{2} - 1 d t$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $p + 1$ .

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} - 1 d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 1 d t$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 1 d t$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - t + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| p + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - t + C$

Étape 3

Résolvez $p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour résoudre $p$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| p + 1 |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - t + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| p + 1 |) = \frac{1}{3} t^{3} - t + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - t + C} = | p + 1 |$

Étape 3.3

Résolvez $p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - t + C}$ .

$| p + 1 | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - t + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$| p + 1 | = e^{\frac{t^{3}}{3} - t + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$p + 1 = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - t + C}$

Étape 3.3.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - t + C} - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{t^{3}}{3} - t + C}$ comme $e^{\frac{t^{3}}{3} - t} e^{C}$ .

$p = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - t} e^{C} - 1$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{t^{3}}{3} - t}$ et $e^{C}$ .

$p = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - t} - 1$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$p = C e^{\frac{t^{3}}{3} - t} - 1$